Номер 1.1, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.1, страница 10.

Учебник.

1.1. Вычислите значение выражения:

1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$;

2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$;

4) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$.

Решение.

Решение 2.

1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$

Для решения используем свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2}}$

Сначала упростим показатель степени. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2} = ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 2\sqrt{2}$

$= (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 2\sqrt{2}$

$= 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$3^3 = 27$

Ответ: $27$

2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Для решения используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае выражение можно прочитать как $( (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{3}}$.

$((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^3$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt[3]{7})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{7})^3$

Вычисляем каждую часть:

$3^3 = 27$

$(\sqrt[3]{7})^3 = 7$

Перемножаем результаты:

$27 \cdot 7 = 189$

Ответ: $189$

3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$

Упростим выражение под знаком кубического корня. Сначала представим $36$ как степень числа $6$:

$36^{-\sqrt{5}} = (6^2)^{-\sqrt{5}} = 6^{-2\sqrt{5}}$

Теперь раскроем скобки в выражении $(\sqrt{5}+1)^2$ по формуле квадрата суммы:

$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$

Подставим полученные выражения обратно под корень:

$\sqrt[3]{6 \cdot (6 + 2\sqrt{5}) \cdot 6^{-2\sqrt{5}}}$

Объединим степени с основанием 6, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[3]{6^1 \cdot 6^{-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})} = \sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})}$

Выражение в данной форме не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: $\sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} (6 + 2\sqrt{5})}$

4) $((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}} = (\frac{1}{2})^{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8})}$

Упростим показатель степени:

$\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$

Подставим полученное значение в выражение:

$(\frac{1}{2})^{-4}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: $16$