Номер 1.1, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.1, страница 10.
№1.1 (с. 10)
Учебник. №1.1 (с. 10)
скриншот условия

1.1. Вычислите значение выражения:
1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$;
2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$;
3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$;
4) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$.
Решение. №1.1 (с. 10)

Решение 2. №1.1 (с. 10)
1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$
Для решения используем свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2}}$
Сначала упростим показатель степени. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2} = ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 2\sqrt{2}$
$= (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 2\sqrt{2}$
$= 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:
$3^3 = 27$
Ответ: $27$
2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$
Для решения используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае выражение можно прочитать как $( (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{3}}$.
$((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^3$
Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
$(3\sqrt[3]{7})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{7})^3$
Вычисляем каждую часть:
$3^3 = 27$
$(\sqrt[3]{7})^3 = 7$
Перемножаем результаты:
$27 \cdot 7 = 189$
Ответ: $189$
3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$
Упростим выражение под знаком кубического корня. Сначала представим $36$ как степень числа $6$:
$36^{-\sqrt{5}} = (6^2)^{-\sqrt{5}} = 6^{-2\sqrt{5}}$
Теперь раскроем скобки в выражении $(\sqrt{5}+1)^2$ по формуле квадрата суммы:
$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$
Подставим полученные выражения обратно под корень:
$\sqrt[3]{6 \cdot (6 + 2\sqrt{5}) \cdot 6^{-2\sqrt{5}}}$
Объединим степени с основанием 6, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[3]{6^1 \cdot 6^{-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})} = \sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})}$
Выражение в данной форме не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.
Ответ: $\sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} (6 + 2\sqrt{5})}$
4) $((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}}$
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}} = (\frac{1}{2})^{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8})}$
Упростим показатель степени:
$\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$
Подставим полученное значение в выражение:
$(\frac{1}{2})^{-4}$
Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$
Ответ: $16$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.1 расположенного на странице 10 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.1 (с. 10), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.