Номер 1, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1, страница 10.

1. Какими свойствами обладает степень с действительным показателем?

Степень с действительным показателем $a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, а показатель $x$ — любое действительное число, обладает следующими основными свойствами. Эти свойства являются обобщением свойств степени с рациональным показателем и широко используются при решении уравнений и неравенств, а также при преобразовании выражений. Для любых действительных чисел $x$, $y$ и для любых положительных чисел $a$, $b$ справедливы следующие свойства:

Произведение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковым положительным основанием их показатели складываются.
Ответ: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

Частное степеней с одинаковым основанием
При делении степеней с одинаковым положительным основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Ответ: $a^x : a^y = a^{x-y}$

Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается без изменений.
Ответ: $(a^x)^y = a^{xy}$

Степень произведения
Степень произведения двух или нескольких положительных чисел равна произведению степеней этих чисел.
Ответ: $(ab)^x = a^x b^x$

Степень частного
Степень частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.
Ответ: $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$

Сравнение степеней с основанием, большим единицы
Если основание степени больше единицы ($a > 1$), то большему показателю соответствует большее значение степени. Показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Ответ: Если $a > 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравнение степеней с основанием, меньшим единицы
Если основание степени — положительное число, меньшее единицы ($0 < a < 1$), то большему показателю соответствует меньшее значение степени. Показательная функция с таким основанием является убывающей.
Ответ: Если $0 < a < 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Сравнение степеней с одинаковым показателем
Для положительных оснований $a$ и $b$ ($0 < a < b$): если показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то $a^x < b^x$; если показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то $a^x > b^x$.
Ответ: Если $x > 0$ и $0 < a < b$, то $a^x < b^x$. Если $x < 0$ и $0 < a < b$, то $a^x > b^x$.