Номер 2, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2, страница 10.

2. Сформулируйте свойства показательной функции.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где $a$ — основание степени, являющееся положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Основные свойства показательной функции:

Область определения

Аргумент $x$ может принимать любое действительное значение. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Математически это записывается как $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $y=a^x$ — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Область значений

Так как основание $a$ является положительным числом, то при возведении его в любую действительную степень $x$ результат всегда будет положительным числом. Значение $y=0$ не достигается.

Следовательно, область значений функции — это множество всех положительных действительных чисел: $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $y=a^x$ — множество всех положительных действительных чисел $(0; +\infty)$.

Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (осью ординат): происходит при $x = 0$. Получаем $y = a^0 = 1$. Таким образом, график любой показательной функции проходит через точку $(0; 1)$.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс): происходит при $y = 0$. Уравнение $a^x = 0$ не имеет решений, так как $a^x$ всегда больше нуля. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: График пересекает ось Oy в точке $(0; 1)$ и не пересекает ось Ox.

Монотонность

Характер монотонности функции зависит от величины основания $a$.

Если $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Ответ: При $a > 1$ функция строго возрастает, а при $0 < a < 1$ — строго убывает.

Четность и нечетность

Показательная функция не является ни четной, ни нечетной, так как не выполняется ни одно из условий: $f(-x) = f(x)$ (четность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетность). Для показательной функции $f(x) = a^x$ имеем $f(-x) = a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, что не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$.

Ответ: Показательная функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Экстремумы

Поскольку функция строго монотонна на всей области определения (либо всегда возрастает, либо всегда убывает), она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: Функция не имеет экстремумов.

Непрерывность

Показательная функция является непрерывной на всей своей области определения, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$. Ее график — это сплошная линия без разрывов.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $\mathbb{R}$.

Асимптоты

График показательной функции имеет горизонтальную асимптоту — ось абсцисс (прямая $y = 0$).

При $a > 1$ график приближается к асимптоте $y=0$ слева, когда $x \to -\infty$.

При $0 < a < 1$ график приближается к асимптоте $y=0$ справа, когда $x \to +\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота — $y=0$ (ось Ox).

Взаимная однозначность

Показательная функция является взаимно однозначной (инъективной). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствуют разные значения функции $y$. Это свойство позволяет определить для показательной функции обратную — логарифмическую функцию.

Ответ: Функция является взаимно однозначной.