Номер 1.6, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.6, страница 11.

Учебник.

1.6. Укажите, какие из данных функций являются возрастающими, а какие — убывающими:

1) $y = 10^x$;

2) $y = \left(\frac{5}{9}\right)^x$;

3) $y = 2^{-x}$;

4) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}$;

5) $y = 2^x \cdot 3^x$;

6) $y = 12^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x$.

Решение.

Решение 2.

Для определения, является ли показательная функция возрастающей или убывающей, необходимо привести ее к стандартному виду $y = a^x$ и проанализировать значение ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

1) $y = 10^x$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$ с основанием $a = 10$. Поскольку основание $a = 10 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) $y = (\frac{5}{9})^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{5}{9}$. Поскольку $0 < a = \frac{5}{9} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

3) $y = 2^{-x}$

Преобразуем данную функцию к стандартному виду $y = a^x$, используя свойство степени $b^{-c} = (\frac{1}{b})^c$:
$y = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a = \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

4) $y = (\frac{1}{5})^{-x}$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство степени $(\frac{1}{b})^{-c} = b^c$:
$y = (\frac{1}{5})^{-x} = 5^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = 5$. Поскольку $a = 5 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

5) $y = 2^x \cdot 3^x$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $b^c \cdot d^c = (b \cdot d)^c$:
$y = 2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = 6$. Так как $a = 6 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

6) $y = 12^x \cdot (\frac{1}{18})^x$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство $b^c \cdot d^c = (b \cdot d)^c$:
$y = 12^x \cdot (\frac{1}{18})^x = (12 \cdot \frac{1}{18})^x = (\frac{12}{18})^x$.
Сократим дробь в основании: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Функция принимает вид $y = (\frac{2}{3})^x$. Основание $a = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < a = \frac{2}{3} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.