Номер 1.13, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.13, страница 12.

1.13. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{5}{6}} > a^{\frac{2}{3}}$;

2) $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}$;

3) $a^{-0,3} > a^{1,4}$;

4) $a^{-\sqrt{7}} < a^{1,2}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y=a^x$, где по условию $a$ - положительное число ($a>0$).

1. Если основание степени $a > 1$, то степенная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то и $a^{x_1} > a^{x_2}$. Знак неравенства для степеней совпадает со знаком неравенства для показателей.

2. Если основание степени $0 < a < 1$, то степенная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$. Знак неравенства для степеней противоположен знаку неравенства для показателей.

В условии даны строгие неравенства, поэтому случай $a=1$ исключается, так как при $a=1$ было бы $1^x = 1$, и неравенства бы не выполнялись.

1) Дано неравенство $a^{\frac{5}{6}} > a^{\frac{2}{3}}$. Сначала сравним показатели степеней: $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$. Поскольку $5 > 4$, то $\frac{5}{6} > \frac{4}{6}$. Итак, у нас есть $x_1 = \frac{5}{6}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$, где $x_1 > x_2$. Исходное неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. Так как большему показателю степени соответствует большее значение функции, знак неравенства сохраняется. Это характерно для возрастающей степенной функции. Следовательно, основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}$. Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$. Так как $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. Итак, у нас есть $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{2}$, где $x_1 > x_2$. Исходное неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Так как большему показателю степени соответствует меньшее значение функции, знак неравенства меняется на противоположный. Это характерно для убывающей степенной функции. Следовательно, основание степени $a$ находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.

3) Дано неравенство $a^{-0,3} > a^{1,4}$. Сравним показатели степеней: $-0,3$ и $1,4$. Очевидно, что $1,4 > -0,3$. Итак, у нас есть $x_1 = 1,4$ и $x_2 = -0,3$, где $x_1 > x_2$. Исходное неравенство можно переписать как $a^{x_2} > a^{x_1}$. Так как большему показателю степени ($x_1$) соответствует меньшее значение функции ($a^{x_1}$), знак неравенства меняется на противоположный. Это характерно для убывающей степенной функции. Следовательно, основание степени $a$ находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.

4) Дано неравенство $a^{-\sqrt{7}} < a^{1,2}$. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{7}$ и $1,2$. Поскольку $\sqrt{7} > 0$, то $-\sqrt{7}$ — отрицательное число, а $1,2$ — положительное. Следовательно, $1,2 > -\sqrt{7}$. Итак, у нас есть $x_1 = 1,2$ и $x_2 = -\sqrt{7}$, где $x_1 > x_2$. Исходное неравенство $a^{x_2} < a^{x_1}$. Так как большему показателю степени ($x_1$) соответствует большее значение функции ($a^{x_1}$), знак неравенства сохраняется. Это характерно для возрастающей степенной функции. Следовательно, основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.