Номер 1.16, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.16. Упростите выражение:

1) $\frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}}$;

2) $((a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2)^{\frac{1}{\pi}}$.

1) Упростим данное выражение: $ \frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}} $.

Для удобства введем замену. Пусть $x = a^{\sqrt{6}}$. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{(x^2 - 1)(x + x^2 + x^3)}{x^4 - x} $

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $ (x^2 - 1)(x + x^2 + x^3) $.
Первый множитель $ (x^2 - 1) $ — это разность квадратов, которая раскладывается как $ (x - 1)(x + 1) $.
Во втором множителе $ (x + x^2 + x^3) $ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(1 + x + x^2) $.
Таким образом, числитель равен $ (x - 1)(x + 1)x(1 + x + x^2) $.

Знаменатель: $ x^4 - x $.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(x^3 - 1) $.
Выражение $ (x^3 - 1) $ — это разность кубов, которая раскладывается как $ (x - 1)(x^2 + x + 1) $.
Таким образом, знаменатель равен $ x(x - 1)(x^2 + x + 1) $.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)x(1 + x + x^2)}{x(x - 1)(x^2 + x + 1)} $

Сократим общие множители $x$, $(x-1)$ и $(x^2+x+1)$ (при условии, что они не равны нулю, т.е. $a \neq 0$ и $a \neq 1$).
После сокращения остается $x + 1$.

Выполним обратную замену $x = a^{\sqrt{6}}$:

$ a^{\sqrt{6}} + 1 $

Ответ: $ a^{\sqrt{6}} + 1 $.

2) Упростим данное выражение: $ ((a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2)^{\frac{1}{\pi}} $.

Сначала рассмотрим выражение внутри внешних скобок: $ (a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2 $.
Это выражение является разностью квадратов вида $X^2 - Y^2$, где $X = a^{\pi} + b^{\pi}$ и $Y = a^{\pi} - b^{\pi}$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

$X + Y = (a^{\pi} + b^{\pi}) + (a^{\pi} - b^{\pi}) = a^{\pi} + b^{\pi} + a^{\pi} - b^{\pi} = 2a^{\pi}$

$X - Y = (a^{\pi} + b^{\pi}) - (a^{\pi} - b^{\pi}) = a^{\pi} + b^{\pi} - a^{\pi} + b^{\pi} = 2b^{\pi}$

Перемножим полученные выражения:

$(2a^{\pi})(2b^{\pi}) = 4a^{\pi}b^{\pi}$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$(4a^{\pi}b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}}$

Воспользуемся свойством степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$4^{\frac{1}{\pi}} \cdot (a^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} \cdot (b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}}$

Далее применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} = a^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = a^1 = a$

$(b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} = b^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = b^1 = b$

Собираем все вместе:

$4^{\frac{1}{\pi}}ab$

Ответ: $ 4^{\frac{1}{\pi}}ab $.