Номер 1.16, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.16, страница 12.
№1.16 (с. 12)
Учебник. №1.16 (с. 12)
скриншот условия

1.16. Упростите выражение:
1) $\frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}}$;
2) $((a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2)^{\frac{1}{\pi}}$.
Решение. №1.16 (с. 12)

Решение 2. №1.16 (с. 12)
1) Упростим данное выражение: $ \frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}} $.
Для удобства введем замену. Пусть $x = a^{\sqrt{6}}$. Тогда выражение примет вид:
$ \frac{(x^2 - 1)(x + x^2 + x^3)}{x^4 - x} $
Теперь разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $ (x^2 - 1)(x + x^2 + x^3) $.
Первый множитель $ (x^2 - 1) $ — это разность квадратов, которая раскладывается как $ (x - 1)(x + 1) $.
Во втором множителе $ (x + x^2 + x^3) $ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(1 + x + x^2) $.
Таким образом, числитель равен $ (x - 1)(x + 1)x(1 + x + x^2) $.
Знаменатель: $ x^4 - x $.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(x^3 - 1) $.
Выражение $ (x^3 - 1) $ — это разность кубов, которая раскладывается как $ (x - 1)(x^2 + x + 1) $.
Таким образом, знаменатель равен $ x(x - 1)(x^2 + x + 1) $.
Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{(x - 1)(x + 1)x(1 + x + x^2)}{x(x - 1)(x^2 + x + 1)} $
Сократим общие множители $x$, $(x-1)$ и $(x^2+x+1)$ (при условии, что они не равны нулю, т.е. $a \neq 0$ и $a \neq 1$).
После сокращения остается $x + 1$.
Выполним обратную замену $x = a^{\sqrt{6}}$:
$ a^{\sqrt{6}} + 1 $
Ответ: $ a^{\sqrt{6}} + 1 $.
2) Упростим данное выражение: $ ((a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2)^{\frac{1}{\pi}} $.
Сначала рассмотрим выражение внутри внешних скобок: $ (a^{\pi} + b^{\pi})^2 - (a^{\pi} - b^{\pi})^2 $.
Это выражение является разностью квадратов вида $X^2 - Y^2$, где $X = a^{\pi} + b^{\pi}$ и $Y = a^{\pi} - b^{\pi}$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.
$X + Y = (a^{\pi} + b^{\pi}) + (a^{\pi} - b^{\pi}) = a^{\pi} + b^{\pi} + a^{\pi} - b^{\pi} = 2a^{\pi}$
$X - Y = (a^{\pi} + b^{\pi}) - (a^{\pi} - b^{\pi}) = a^{\pi} + b^{\pi} - a^{\pi} + b^{\pi} = 2b^{\pi}$
Перемножим полученные выражения:
$(2a^{\pi})(2b^{\pi}) = 4a^{\pi}b^{\pi}$
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$(4a^{\pi}b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}}$
Воспользуемся свойством степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:
$4^{\frac{1}{\pi}} \cdot (a^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} \cdot (b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}}$
Далее применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(a^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} = a^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = a^1 = a$
$(b^{\pi})^{\frac{1}{\pi}} = b^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = b^1 = b$
Собираем все вместе:
$4^{\frac{1}{\pi}}ab$
Ответ: $ 4^{\frac{1}{\pi}}ab $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.16 расположенного на странице 12 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.16 (с. 12), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.