Номер 1.20, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.20, страница 13.

Учебник.

1.20. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = 2^x$ равно 16, а наименьшее равно $\frac{1}{4}$?

Решение.

Решение 2.

Нам дана показательная функция $y = 2^x$. Требуется найти такой промежуток для переменной $x$, на котором наименьшее значение функции будет равно $\frac{1}{4}$, а наибольшее — $16$.

Поскольку основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), функция $y = 2^x$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.

Следовательно, наименьшее значение функции будет достигаться на левой границе искомого промежутка, а наибольшее — на правой.

1. Найдем левую границу промежутка, решив уравнение для наименьшего значения функции:
$y_{наим} = 2^x = \frac{1}{4}$
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = 2^{-2}$
Отсюда следует, что $x = -2$.

2. Найдем правую границу промежутка, решив уравнение для наибольшего значения функции:
$y_{наиб} = 2^x = 16$
Представим $16$ в виде степени с основанием 2:
$16 = 2^4$
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = 2^4$
Отсюда следует, что $x = 4$.

Таким образом, искомый промежуток для $x$ — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $[-2; 4]$.