Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.19. Найдите наибольшее значение функции $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ на промежутке $[-2; 3]$.

Данная функция $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ является показательной. Основание степени $a = \frac{1}{6}$.
Поскольку основание степени удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.
Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
Следовательно, на заданном промежутке $[-2, 3]$ наибольшее значение функция принимает в точке с наименьшим значением $x$, то есть при $x = -2$.
Вычислим это значение:
$y_{наиб} = y(-2) = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2 = 36$.
Ответ: 36

1.20. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = 2^x$ равно 16, а наименьшее равно $\frac{1}{4}$?

Нам дана показательная функция $y = 2^x$. Требуется найти такой промежуток для переменной $x$, на котором наименьшее значение функции будет равно $\frac{1}{4}$, а наибольшее — $16$.

Поскольку основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), функция $y = 2^x$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.

Следовательно, наименьшее значение функции будет достигаться на левой границе искомого промежутка, а наибольшее — на правой.

1. Найдем левую границу промежутка, решив уравнение для наименьшего значения функции:
$y_{наим} = 2^x = \frac{1}{4}$
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = 2^{-2}$
Отсюда следует, что $x = -2$.

2. Найдем правую границу промежутка, решив уравнение для наибольшего значения функции:
$y_{наиб} = 2^x = 16$
Представим $16$ в виде степени с основанием 2:
$16 = 2^4$
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = 2^4$
Отсюда следует, что $x = 4$.

Таким образом, искомый промежуток для $x$ — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $[-2; 4]$.

1.21. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ равно 27, а наименьшее равно $\frac{1}{9}$?

Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Основание этой функции $a = \frac{1}{3}$. Поскольку основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная функция является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Согласно условию, на искомом промежутке $[x_{min}, x_{max}]$ наибольшее значение функции равно 27, а наименьшее равно $\frac{1}{9}$.

Так как функция убывающая, свое наибольшее значение она принимает на левом конце промежутка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее значение — на правом конце промежутка (при наибольшем значении $x$).

1. Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 27:
$y_{max} = 27$
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 27$
Представим обе части уравнения как степени с одним основанием. Удобно использовать основание 3:
$(3^{-1})^x = 3^3$
$3^{-x} = 3^3$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$-x = 3$
$x = -3$
Это левая граница искомого промежутка.

2. Найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное $\frac{1}{9}$:
$y_{min} = \frac{1}{9}$
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{9}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^2$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$x = 2$
Это правая граница искомого промежутка.

Таким образом, функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает значения от $\frac{1}{9}$ до 27 на промежутке $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.

1.22. Решите неравенство:

1) $2^x > -1$;

2) $2^{\sqrt{x}} > -2$.

1)

Рассмотрим неравенство $2^x > -1$.

Левая часть неравенства представляет собой показательную функцию $y = 2^x$. Область значений показательной функции с основанием больше 1 (в данном случае основание равно 2) — это все положительные действительные числа. То есть, для любого действительного числа $x$ значение $2^x$ всегда будет больше нуля: $2^x > 0$.

Так как любое положительное число заведомо больше любого отрицательного числа, то неравенство $2^x > -1$ будет выполняться для всех возможных значений $x$. Область определения функции $y = 2^x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2)

Рассмотрим неравенство $2^{\sqrt{x}} > -2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как $x$ находится под знаком квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть неравенства, $2^{\sqrt{x}}$, является показательной функцией. Для любого $x$ из ОДЗ, то есть для $x \ge 0$, выражение $2^{\sqrt{x}}$ будет принимать только положительные значения: $2^{\sqrt{x}} > 0$.

Поскольку любое положительное число больше, чем -2, неравенство $2^{\sqrt{x}} > -2$ справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

1.23. Решите неравенство

$2^{\frac{1}{x}} > 0$.

1.23.

Рассмотрим данное неравенство: $2^{\frac{1}{x}} > 0$.

Это показательное неравенство. Левая часть неравенства представляет собой показательную функцию $f(x) = 2^{\frac{1}{x}}$.

По свойству показательной функции $y = a^z$ с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$, ее область значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$. В нашем случае основание $a=2$, что удовлетворяет условию $a > 0$.

Это означает, что выражение $2^{\frac{1}{x}}$ будет строго положительным для любого действительного значения показателя степени $\frac{1}{x}$.

Следовательно, неравенство $2^{\frac{1}{x}} > 0$ справедливо для всех значений $x$, при которых выражение в левой части определено. Найдем область определения функции $f(x) = 2^{\frac{1}{x}}$.

Выражение $2^{\frac{1}{x}}$ определено, если определен показатель степени, то есть дробь $\frac{1}{x}$.

Дробь $\frac{1}{x}$ определена для всех действительных чисел $x$, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль. Таким образом, единственное ограничение на переменную $x$ — это $x \neq 0$.

Итак, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

1.24. Постройте график функции:

1) $y = 2^x - 1;$

2) $y = 2^{x - 1};$

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2;$

4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2};$

5) $y = -2^x;$

6) $y = 5 - 2^x.$

1) $y = 2^x - 1$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Горизонтальная асимптота графика — ось OX, то есть прямая $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^x - 1$. Вычитание 1 из функции означает сдвиг всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вниз. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 1 вниз и становится прямой $y = -1$.

Ответ: График функции $y = 2^x - 1$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вниз. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=-1$.

2) $y = 2^{x-1}$

Для построения графика этой функции, мы также будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$, как и в предыдущем пункте. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^{x-1}$. Замена $x$ на $x-1$ означает сдвиг всего графика на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вправо. Новые координаты ключевых точек будут: $(0, 1/2)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется при горизонтальном сдвиге.

Ответ: График функции $y = 2^{x-1}$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вправо. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/2)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание $1/2 < 1$, это убывающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^x + 2$. Прибавление 2 к функции означает сдвиг всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 вверх. Новые координаты ключевых точек будут: $(-2, 6)$, $(-1, 4)$, $(0, 3)$, $(1, 2.5)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 2 вверх и становится прямой $y=2$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x + 2$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 3)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=2$.

4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2}$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = (\frac{1}{2})^x$.

Шаг 1. Строим график убывающей функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Ключевые точки: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$. Замена $x$ на $x+2$ означает сдвиг всего графика на 2 единицы влево вдоль оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 влево. Новые координаты ключевых точек будут: $(-3, 2)$, $(-2, 1)$, $(-1, 1/2)$. Пересечение с осью OY найдем, подставив $x=0$: $y = (\frac{1}{2})^{0+2} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(0, 1/4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы влево. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(-2, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/4)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

5) $y = -2^x$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график возрастающей функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Умножение функции на -1 означает симметричное отражение графика относительно оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ отражается симметрично относительно оси OX. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, -1)$, $(1, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при отражении относительно себя не изменяется, но теперь график к ней приближается снизу.

Ответ: График функции $y = -2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем симметричного отражения относительно оси OX. Это убывающая кривая, лежащая полностью в нижней полуплоскости, проходящая через точку $(0, -1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

6) $y = 5 - 2^x$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать последовательные преобразования графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Это симметричное отражение относительно оси OX. Ключевые точки становятся $(0, -1)$, $(1, -2)$, $(2, -4)$. Асимптота остается $y=0$.

Шаг 3. Преобразуем график $y=-2^x$ в график $y = 5 - 2^x$ (или $y = -2^x + 5$). Это сдвиг графика $y=-2^x$ на 5 единиц вверх вдоль оси OY.

Шаг 4. Каждая точка графика $y=-2^x$ сдвигается на 5 вверх. Новые координаты ключевых точек: $(0, -1+5) = (0, 4)$, $(1, -2+5) = (1, 3)$, $(2, -4+5) = (2, 1)$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 5 вверх и становится прямой $y=5$. Найдем точку пересечения с осью OX: $5 - 2^x = 0 \Rightarrow 2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5 \approx 2.32$.

Ответ: График функции $y = 5 - 2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем его отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 5 единиц вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 4)$, ось OX в точке $(\log_2 5, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=5$.

1.25. Постройте график функции:

1) $y = 3^x + 1;$

2) $y = 3^{x+1};$

3) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2;$

4) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2};$

5) $y = -\left(\frac{1}{3}\right)^x;$

6) $y = -3^x - 1.$

1) $y = 3^x + 1$

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой показательной функции $y = 3^x$.

Сначала построим график функции $y = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через характерные точки, например, $(0, 1)$ и $(1, 3)$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является её горизонтальной асимптотой.

Далее, чтобы получить график функции $y = 3^x + 1$, необходимо сдвинуть (выполнить параллельный перенос) график $y = 3^x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, 2)$, а точка $(1, 3)$ — в точку $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сместится на 1 единицу вверх и станет прямой $y=1$.

Ответ: График функции $y = 3^x + 1$ получается из графика функции $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота — $y=1$.

2) $y = 3^{x+1}$

График этой функции строится на основе графика $y = 3^x$.

Сначала построим график функции $y = 3^x$.

Чтобы получить график функции $y = 3^{x+1}$, необходимо сдвинуть график $y = 3^x$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(-1, 1)$, а точка $(1, 3)$ — в точку $(0, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при горизонтальном сдвиге не изменится.

Ответ: График функции $y = 3^{x+1}$ получается из графика функции $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

3) $y = (\frac{1}{3})^x - 2$

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая кривая (так как основание $1/3 < 1$), проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 3)$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является её горизонтальной асимптотой.

Чтобы получить график функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$, необходимо сдвинуть график $y = (\frac{1}{3})^x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(-1, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вниз и станет прямой $y=-2$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x - 2$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-2$.

4) $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$

График этой функции строится на основе графика $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Чтобы получить график функции $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$, необходимо сдвинуть график $y = (\frac{1}{3})^x$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

При этом сдвиге точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(2, 1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(1, 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится. Точка пересечения с осью $Oy$ будет $(0, 9)$, так как $y(0) = (\frac{1}{3})^{0-2} = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^{x-2}$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

5) $y = -(\frac{1}{3})^x$

График этой функции строится на основе графика $y = (\frac{1}{3})^x$.

Сначала построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Чтобы получить график функции $y = -(\frac{1}{3})^x$, необходимо отразить график $y = (\frac{1}{3})^x$ симметрично относительно оси $Ox$.

При этом отражении ордината каждой точки меняет свой знак на противоположный. Точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, а точка $(-1, 3)$ — в точку $(-1, -3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) является осью симметрии и останется на месте.

Ответ: График функции $y = -(\frac{1}{3})^x$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$ симметричным отражением относительно оси $Ox$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

6) $y = -3^x - 1$

Для построения этого графика мы будем использовать последовательность преобразований графика функции $y = 3^x$.

1. Строим график функции $y = 3^x$.

2. Отражаем график $y = 3^x$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график промежуточной функции $y = -3^x$. Точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1)$, точка $(1, 3)$ — в $(1, -3)$. Асимптота $y=0$ не меняется.

3. Сдвигаем график $y = -3^x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Получаем искомый график $y = -3^x - 1$.

При этом сдвиге точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, -2)$, а точка $(1, -3)$ — в точку $(1, -4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 1 единицу вниз и станет прямой $y=-1$.

Ответ: График функции $y = -3^x - 1$ получается из графика $y = 3^x$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1 единицу вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-1$.

1.26. График какой из функций, изображённых на рисунке 1.9, пересекает график функции $y = 5^x$ более чем в одной точке?

Рис. 1.9

a

б

в

Для решения задачи необходимо найти уравнения для каждой из прямых, изображенных на рисунках, а затем проанализировать количество точек пересечения каждой из них с графиком показательной функции $y = 5^x$.

Функция $y = 5^x$ является строго возрастающей и выпуклой вниз. Это означает, что любая прямая может пересекать ее график не более чем в двух точках. График функции $y=5^x$ проходит через точку $(0, 1)$ и всегда находится выше оси абсцисс ($y>0$).

На рисунке 'а' изображена прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Так как прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 5)$, свободный член $b=5$. Угловой коэффициент $k$ найдем по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 5}{5 - 0} = -1$. Таким образом, уравнение прямой 'а' — $y = -x + 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = -x + 5$. Левая часть уравнения, $f(x) = 5^x$, — строго возрастающая функция. Правая часть, $g(x) = -x + 5$, — строго убывающая функция. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более одного раза. Следовательно, у этого уравнения не более одного решения.

Ответ: График 'а' имеет одну точку пересечения с графиком функции $y=5^x$.

На рисунке 'б' изображена прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$. Из точки $(0, 5)$ следует, что $b=5$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 5}{-5 - 0} = 1$. Уравнение прямой 'б' — $y = x + 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = x + 5$. Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = x + 5$. При $x=1$ имеем $5^1 = 5$, а $1+5 = 6$, то есть $f(1) < g(1)$. При $x=2$ имеем $5^2 = 25$, а $2+5 = 7$, то есть $f(2) > g(2)$. Поскольку на отрезке $[1, 2]$ непрерывные функции поменяли взаимное расположение, между $x=1$ и $x=2$ есть одна точка пересечения. Аналогично, для отрицательных $x$: при $x=-1$ имеем $5^{-1} = 0.2$, а $-1+5 = 4$, то есть $f(-1) < g(-1)$. При $x=-5$ имеем $5^{-5} > 0$, а $-5+5 = 0$, то есть $f(-5) > g(-5)$. Следовательно, на отрезке $[-5, -1]$ есть еще одна точка пересечения. Так как прямая может пересекать выпуклую функцию $y=5^x$ не более двух раз, мы нашли обе точки пересечения.

Ответ: График 'б' имеет две точки пересечения с графиком функции $y=5^x$.

На рисунке 'в' изображена прямая, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$. Из точки $(0, -5)$ следует, что $b=-5$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - (-5)}{-5 - 0} = -1$. Уравнение прямой 'в' — $y = -x - 5$.

Точки пересечения находятся из уравнения $5^x = -x - 5$. Функция $y=5^x$ всегда положительна ($y>0$). Прямая $y=-x-5$ положительна только при $-x - 5 > 0$, то есть при $x < -5$. Следовательно, возможное пересечение может быть только в области $x < -5$. В этой области функция $f(x)=5^x$ возрастает, а $g(x)=-x-5$ убывает, поэтому у них может быть не более одной точки пересечения.

Ответ: График 'в' имеет одну точку пересечения с графиком функции $y=5^x$.

Таким образом, единственным графиком, который пересекает график функции $y = 5^x$ более чем в одной точке, является график 'б'.