Номер 1.24, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.24, страница 13.

Учебник.

1.24. Постройте график функции:

1) $y = 2^x - 1;$

2) $y = 2^{x - 1};$

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2;$

4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2};$

5) $y = -2^x;$

6) $y = 5 - 2^x.$

Решение.

Решение 2.

1) $y = 2^x - 1$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Горизонтальная асимптота графика — ось OX, то есть прямая $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^x - 1$. Вычитание 1 из функции означает сдвиг всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вниз. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 1 вниз и становится прямой $y = -1$.

Ответ: График функции $y = 2^x - 1$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вниз. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=-1$.

2) $y = 2^{x-1}$

Для построения графика этой функции, мы также будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$, как и в предыдущем пункте. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^{x-1}$. Замена $x$ на $x-1$ означает сдвиг всего графика на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вправо. Новые координаты ключевых точек будут: $(0, 1/2)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется при горизонтальном сдвиге.

Ответ: График функции $y = 2^{x-1}$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вправо. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/2)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание $1/2 < 1$, это убывающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^x + 2$. Прибавление 2 к функции означает сдвиг всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 вверх. Новые координаты ключевых точек будут: $(-2, 6)$, $(-1, 4)$, $(0, 3)$, $(1, 2.5)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 2 вверх и становится прямой $y=2$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x + 2$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 3)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=2$.

4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2}$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = (\frac{1}{2})^x$.

Шаг 1. Строим график убывающей функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Ключевые точки: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$. Замена $x$ на $x+2$ означает сдвиг всего графика на 2 единицы влево вдоль оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 влево. Новые координаты ключевых точек будут: $(-3, 2)$, $(-2, 1)$, $(-1, 1/2)$. Пересечение с осью OY найдем, подставив $x=0$: $y = (\frac{1}{2})^{0+2} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(0, 1/4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы влево. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(-2, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/4)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

5) $y = -2^x$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график возрастающей функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Умножение функции на -1 означает симметричное отражение графика относительно оси OX.

Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ отражается симметрично относительно оси OX. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, -1)$, $(1, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при отражении относительно себя не изменяется, но теперь график к ней приближается снизу.

Ответ: График функции $y = -2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем симметричного отражения относительно оси OX. Это убывающая кривая, лежащая полностью в нижней полуплоскости, проходящая через точку $(0, -1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

6) $y = 5 - 2^x$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать последовательные преобразования графика $y = 2^x$.

Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Асимптота: $y=0$.

Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Это симметричное отражение относительно оси OX. Ключевые точки становятся $(0, -1)$, $(1, -2)$, $(2, -4)$. Асимптота остается $y=0$.

Шаг 3. Преобразуем график $y=-2^x$ в график $y = 5 - 2^x$ (или $y = -2^x + 5$). Это сдвиг графика $y=-2^x$ на 5 единиц вверх вдоль оси OY.

Шаг 4. Каждая точка графика $y=-2^x$ сдвигается на 5 вверх. Новые координаты ключевых точек: $(0, -1+5) = (0, 4)$, $(1, -2+5) = (1, 3)$, $(2, -4+5) = (2, 1)$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 5 вверх и становится прямой $y=5$. Найдем точку пересечения с осью OX: $5 - 2^x = 0 \Rightarrow 2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5 \approx 2.32$.

Ответ: График функции $y = 5 - 2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем его отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 5 единиц вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 4)$, ось OX в точке $(\log_2 5, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=5$.