Номер 1.24, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.24, страница 13.
№1.24 (с. 13)
Учебник. №1.24 (с. 13)
скриншот условия

1.24. Постройте график функции:
1) $y = 2^x - 1;$
2) $y = 2^{x - 1};$
3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2;$
4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2};$
5) $y = -2^x;$
6) $y = 5 - 2^x.$
Решение. №1.24 (с. 13)


Решение 2. №1.24 (с. 13)
1) $y = 2^x - 1$
Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = 2^x$.
Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Горизонтальная асимптота графика — ось OX, то есть прямая $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^x - 1$. Вычитание 1 из функции означает сдвиг всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вниз. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 1 вниз и становится прямой $y = -1$.
Ответ: График функции $y = 2^x - 1$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вниз. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=-1$.
2) $y = 2^{x-1}$
Для построения графика этой функции, мы также будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.
Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$, как и в предыдущем пункте. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = 2^{x-1}$. Замена $x$ на $x-1$ означает сдвиг всего графика на 1 единицу вправо вдоль оси OX.
Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ сдвигается на 1 вправо. Новые координаты ключевых точек будут: $(0, 1/2)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется при горизонтальном сдвиге.
Ответ: График функции $y = 2^{x-1}$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 1 единицу вправо. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/2)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2$
Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$.
Шаг 1. Строим график функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание $1/2 < 1$, это убывающая показательная функция. Она проходит через ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^x + 2$. Прибавление 2 к функции означает сдвиг всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.
Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 вверх. Новые координаты ключевых точек будут: $(-2, 6)$, $(-1, 4)$, $(0, 3)$, $(1, 2.5)$. Горизонтальная асимптота также сдвигается на 2 вверх и становится прямой $y=2$.
Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x + 2$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 3)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=2$.
4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2}$
Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = (\frac{1}{2})^x$.
Шаг 1. Строим график убывающей функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Ключевые точки: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$. Асимптота: $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=(\frac{1}{2})^x$ в график $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$. Замена $x$ на $x+2$ означает сдвиг всего графика на 2 единицы влево вдоль оси OX.
Шаг 3. Каждая точка графика $y=(\frac{1}{2})^x$ сдвигается на 2 влево. Новые координаты ключевых точек будут: $(-3, 2)$, $(-2, 1)$, $(-1, 1/2)$. Пересечение с осью OY найдем, подставив $x=0$: $y = (\frac{1}{2})^{0+2} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(0, 1/4)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$ получается из графика $y = (\frac{1}{2})^x$ сдвигом на 2 единицы влево. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(-2, 1)$, пересекающая ось OY в точке $(0, 1/4)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
5) $y = -2^x$
Для построения графика этой функции, мы будем использовать преобразования базового графика $y = 2^x$.
Шаг 1. Строим график возрастающей функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Асимптота: $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Умножение функции на -1 означает симметричное отражение графика относительно оси OX.
Шаг 3. Каждая точка графика $y=2^x$ отражается симметрично относительно оси OX. Новые координаты ключевых точек будут: $(-1, -1/2)$, $(0, -1)$, $(1, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при отражении относительно себя не изменяется, но теперь график к ней приближается снизу.
Ответ: График функции $y = -2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем симметричного отражения относительно оси OX. Это убывающая кривая, лежащая полностью в нижней полуплоскости, проходящая через точку $(0, -1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
6) $y = 5 - 2^x$
Для построения графика этой функции, мы будем использовать последовательные преобразования графика $y = 2^x$.
Шаг 1. Строим график функции $y = 2^x$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Асимптота: $y=0$.
Шаг 2. Преобразуем график $y=2^x$ в график $y = -2^x$. Это симметричное отражение относительно оси OX. Ключевые точки становятся $(0, -1)$, $(1, -2)$, $(2, -4)$. Асимптота остается $y=0$.
Шаг 3. Преобразуем график $y=-2^x$ в график $y = 5 - 2^x$ (или $y = -2^x + 5$). Это сдвиг графика $y=-2^x$ на 5 единиц вверх вдоль оси OY.
Шаг 4. Каждая точка графика $y=-2^x$ сдвигается на 5 вверх. Новые координаты ключевых точек: $(0, -1+5) = (0, 4)$, $(1, -2+5) = (1, 3)$, $(2, -4+5) = (2, 1)$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 5 вверх и становится прямой $y=5$. Найдем точку пересечения с осью OX: $5 - 2^x = 0 \Rightarrow 2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5 \approx 2.32$.
Ответ: График функции $y = 5 - 2^x$ получается из графика $y = 2^x$ путем его отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 5 единиц вверх. Это убывающая кривая, пересекающая ось OY в точке $(0, 4)$, ось OX в точке $(\log_2 5, 0)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.24 расположенного на странице 13 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.24 (с. 13), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.