Номер 1.23, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.23, страница 13.

1.23. Решите неравенство

$2^{\frac{1}{x}} > 0$.

1.23.

Рассмотрим данное неравенство: $2^{\frac{1}{x}} > 0$.

Это показательное неравенство. Левая часть неравенства представляет собой показательную функцию $f(x) = 2^{\frac{1}{x}}$.

По свойству показательной функции $y = a^z$ с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$, ее область значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$. В нашем случае основание $a=2$, что удовлетворяет условию $a > 0$.

Это означает, что выражение $2^{\frac{1}{x}}$ будет строго положительным для любого действительного значения показателя степени $\frac{1}{x}$.

Следовательно, неравенство $2^{\frac{1}{x}} > 0$ справедливо для всех значений $x$, при которых выражение в левой части определено. Найдем область определения функции $f(x) = 2^{\frac{1}{x}}$.

Выражение $2^{\frac{1}{x}}$ определено, если определен показатель степени, то есть дробь $\frac{1}{x}$.

Дробь $\frac{1}{x}$ определена для всех действительных чисел $x$, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль. Таким образом, единственное ограничение на переменную $x$ — это $x \neq 0$.

Итак, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.