Номер 1.17, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.17, страница 12.

Учебник.

1.17. Верно ли утверждение:

1) наибольшее значение функции $y = 0,2^x$ на промежутке $[-1; 2]$ равно 5;

2) областью определения функции $y = 4 - 7^x$ является множество действительных чисел;

3) областью значений функции $y = 6^x + 5$ является промежуток $[5; \infty)$;

4) наименьшее значение функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ на промежутке $[-2; 2]$ равно 16?

Решение.

Решение 2.

1) Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Основание степени $a = 0,2$, и так как $0 < 0,2 < 1$, данная функция является убывающей на всей своей области определения. На промежутке $[-1; 2]$ убывающая функция принимает свое наибольшее значение в левой крайней точке, то есть при $x = -1$.
Вычислим это значение: $y(-1) = 0,2^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.
Таким образом, наибольшее значение функции на данном промежутке действительно равно 5.
Ответ: утверждение верно.

2) Функция $y = 4 - 7^x$ является разностью двух функций: постоянной функции $f(x) = 4$ и показательной функции $g(x) = 7^x$. Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел. Областью определения показательной функции $y=a^x$ (где $a>0$, $a \neq 1$) также является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Следовательно, область определения их разности также является множеством всех действительных чисел.
Ответ: утверждение верно.

3) Рассмотрим функцию $y = 6^x + 5$. Область значений показательной функции $f(x) = 6^x$ (с основанием $a=6 > 1$) – это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что $6^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Тогда для функции $y = 6^x + 5$ имеем: $y > 0 + 5$, то есть $y > 5$.
Областью значений данной функции является промежуток $(5; +\infty)$. Утверждение гласит, что это промежуток $[5; +\infty)$, включая число 5. Это неверно, так как значение 5 не достигается функцией (является лишь нижней гранью).
Ответ: утверждение неверно.

4) Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{4})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{4}$, и так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, данная функция является убывающей. На промежутке $[-2; 2]$ убывающая функция принимает свое наименьшее значение в правой крайней точке, то есть при $x = 2$.
Вычислим это значение: $y(2) = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
Наибольшее значение функция принимает при $x = -2$: $y(-2) = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$.
Утверждение гласит, что наименьшее значение функции равно 16, в то время как 16 является наибольшим значением. Наименьшее значение равно $\frac{1}{16}$.
Ответ: утверждение неверно.