Номер 1.11, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.11, страница 11.

1.11. Сравните:

1) $5^{3,4}$ и $5^{3,26}$;

2) $0,3^{0,4}$ и $0,3^{0,3}$;

3) 1 и $\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}>;

4) $0,17^{-3}$ и 1;

5) $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}}$ и $(\sqrt{2})^{\sqrt{7}};

6) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2,7}$ и $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2,8}.

Для сравнения степеней используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает. Это значит, что если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Это значит, что если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

1) Сравниваем числа $5^{3,4}$ и $5^{3,26}$. Основание степени $a=5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $3,4 > 3,26$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $5^{3,4} > 5^{3,26}$.
Ответ: $5^{3,4} > 5^{3,26}$.

2) Сравниваем числа $0,3^{0,4}$ и $0,3^{0,3}$. Основание степени $a=0,3$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,3^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $0,4 > 0,3$. Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $0,3^{0,4} < 0,3^{0,3}$.
Ответ: $0,3^{0,4} < 0,3^{0,3}$.

3) Сравниваем $1$ и $(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}$. Представим $1$ как степень с тем же основанием: $1 = (\frac{5}{4})^0$. Основание степени $a = \frac{5}{4} = 1,25$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=(\frac{5}{4})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3} > 0$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени. Значит, $(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}} > (\frac{5}{4})^0$.
Ответ: $1 < (\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}$.

4) Сравниваем $0,17^{-3}$ и $1$. Представим $1$ как $0,17^0$. Основание степени $a = 0,17$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,17^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-3 < 0$. Поскольку функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $0,17^{-3} > 0,17^0$.
Ответ: $0,17^{-3} > 1$.

5) Сравниваем $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}}$ и $(\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$. Основание степени $a = \sqrt{2} \approx 1,414$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=(\sqrt{2})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Поскольку $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$. Так как функция возрастающая, меньшему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$.
Ответ: $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$.

6) Сравниваем $(\frac{\pi}{4})^{-2,7}$ и $(\frac{\pi}{4})^{-2,8}$. Основание степени $a = \frac{\pi}{4}$. Так как $\pi \approx 3,14$, то $a \approx \frac{3,14}{4} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{\pi}{4})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-2,7$ и $-2,8$. Так как $-2,7 > -2,8$, а функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $(\frac{\pi}{4})^{-2,7} < (\frac{\pi}{4})^{-2,8}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{-2,7} < (\frac{\pi}{4})^{-2,8}$.