Номер 1.9, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.9, страница 11.

1.9. Сравните с числом 1 степень:

1) $ (\\frac{1}{2})^{\\sqrt{2}} $;

2) $ (\\frac{\\pi}{3})^{\\pi} $;

3) $ 0.6^{2\\sqrt{5}} $;

4) $ (\\frac{1}{3})^{-\\sqrt{3}} $;

5) $ (\\frac{4}{5})^{\\pi} $;

6) $ (\\frac{\\pi+1}{4})^{-\\sqrt{6}} $.

1) Для сравнения выражения $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции.Показатель степени $x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то мы сравниваем значение функции в точке $\sqrt{2}$ со значением в точке 0.Поскольку $x = \sqrt{2} > 0$ и функция убывающая, то $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{2})^0$.Так как любое число в нулевой степени равно 1, то $(\frac{1}{2})^0 = 1$.Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < 1$.

2) Для сравнения выражения $(\frac{\pi}{3})^{\pi}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{\pi}{3} > \frac{3}{3} = 1$. Так как основание $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции.Показатель степени $x = \pi$. Так как $\pi > 0$, то мы сравниваем значение функции в точке $\pi$ со значением в точке 0.Поскольку $x = \pi > 0$ и функция возрастающая, то $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > (\frac{\pi}{3})^0$.Так как $(\frac{\pi}{3})^0 = 1$, то $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > 1$.
Ответ: $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > 1$.

3) Для сравнения выражения $0.6^{2\sqrt{5}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = 0.6$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = 2\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то и $x = 2\sqrt{5} > 0$.Поскольку $x > 0$ и функция убывающая, то $0.6^{2\sqrt{5}} < 0.6^0$.Так как $0.6^0 = 1$, то $0.6^{2\sqrt{5}} < 1$.
Ответ: $0.6^{2\sqrt{5}} < 1$.

4) Для сравнения выражения $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = -\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $x = -\sqrt{3} < 0$.Поскольку $x < 0$ и функция убывающая, то $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{1}{3})^0$.Так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$, то $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > 1$.В качестве альтернативы можно преобразовать выражение: $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} = (3^{-1})^{-\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$. У этого выражения основание $3 > 1$ и показатель $\sqrt{3} > 0$, следовательно, оно больше 1.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > 1$.

5) Для сравнения выражения $(\frac{4}{5})^{\pi}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{4}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = \pi$. Так как $x = \pi > 0$.Поскольку $x > 0$ и функция убывающая, то $(\frac{4}{5})^{\pi} < (\frac{4}{5})^0$.Так как $(\frac{4}{5})^0 = 1$, то $(\frac{4}{5})^{\pi} < 1$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^{\pi} < 1$.

6) Для сравнения выражения $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{\pi + 1}{4}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{\pi + 1}{4} \approx \frac{3.14159 + 1}{4} = \frac{4.14159}{4} > 1$. Так как основание $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей.Показатель степени $x = -\sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $x = -\sqrt{6} < 0$.Поскольку $x < 0$ и функция возрастающая, то $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < (\frac{\pi + 1}{4})^0$.Так как $(\frac{\pi + 1}{4})^0 = 1$, то $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < 1$.
Ответ: $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < 1$.