Номер 1.8, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.8, страница 11.

1.8. Постройте график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. В каких пределах изменяется

Построение графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{1}{3}$.

Для построения графика проанализируем основные свойства этой функции:

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: так как основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
• Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Следовательно, график пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.
• Асимптота: график не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как уравнение $(\frac{1}{3})^x = 0$ не имеет решений в действительных числах. При $x \to +\infty$, значение $y$ стремится к нулю, оставаясь положительным. Таким образом, ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика.
• Область значений: так как основание $a > 0$, функция принимает только положительные значения при любом $x$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, чтобы построить график:

$x$	$y = (\frac{1}{3})^x$
-2	$(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$
-1	$(\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$
0	$(\frac{1}{3})^0 = 1$
1	$(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33$
2	$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \approx 0.11$

На основе этих данных и свойств функции строим её график:

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это плавная кривая, которая убывает на всей своей области определения, проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к положительной части оси $Ox$ справа.

В каких пределах изменяется y

Чтобы определить пределы изменения переменной $y$, необходимо найти область значений функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

По определению показательной функции с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$, её значения всегда строго положительны. В нашем случае $a=\frac{1}{3} > 0$, поэтому $y > 0$ для любого действительного $x$.

Проанализируем поведение функции на бесконечности:

• Когда $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $3^x$ в выражении $y = \frac{1}{3^x}$ неограниченно растет, поэтому вся дробь стремится к нулю: $\lim_{x\to+\infty} (\frac{1}{3})^x = 0$.
• Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), можно представить $x$ как $-t$, где $t \to +\infty$. Тогда $y = (\frac{1}{3})^{-t} = 3^t$. При $t \to +\infty$, значение $3^t$ неограниченно возрастает: $\lim_{x\to-\infty} (\frac{1}{3})^x = +\infty$.

Таким образом, функция может принимать любое положительное значение, но никогда не достигает нуля и не становится отрицательной. Область значений функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: Значение $y$ изменяется в пределах от 0 до $+\infty$, не включая 0. В виде неравенства это записывается как $y > 0$, а в виде интервала — $y \in (0, +\infty)$.