Номер 1.2, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.2, страница 10.

1.2. Найдите значение выражения:

1) $5^{ (\sqrt{3}-1)^2 } : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}$ ;

2) $\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}$ ;

3) $\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}$ .

1) Для решения выражения $5^{(\sqrt{3}-1)^2} : (\frac{1}{5})^{2\sqrt{3}}$ необходимо последовательно упростить его части, используя свойства степеней.
Шаг 1: Упростим показатель степени первого множителя, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Таким образом, первая часть выражения равна $5^{4 - 2\sqrt{3}}$.
Шаг 2: Преобразуем вторую часть выражения. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы представить $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$.
$(\frac{1}{5})^{2\sqrt{3}} = (5^{-1})^{2\sqrt{3}}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются согласно правилу $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5^{-1})^{2\sqrt{3}} = 5^{-1 \cdot 2\sqrt{3}} = 5^{-2\sqrt{3}}$.
Шаг 3: Выполним деление степеней с одинаковым основанием. При делении степеней их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{4 - 2\sqrt{3}} : 5^{-2\sqrt{3}} = 5^{(4 - 2\sqrt{3}) - (-2\sqrt{3})} = 5^{4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} = 5^4$.
Шаг 4: Вычислим полученное значение.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Ответ: 625

2) Рассмотрим выражение $((\sqrt{2})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.
Шаг 1: Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. Применяя это правило дважды, мы можем перемножить все показатели:
$((\sqrt{2})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$.
Шаг 2: Упростим показатель степени.
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 = 6$.
Выражение принимает вид $(\sqrt{2})^6$.
Шаг 3: Представим квадратный корень как степень с показателем $\frac{1}{2}$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6$.
Шаг 4: Снова применяем правило возведения степени в степень.
$2^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^3$.
Шаг 5: Вычислим результат.
$2^3 = 8$.
Ответ: 8

3) Упростим выражение $((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}})^{-2\sqrt{5}}$.
Шаг 1: Представим корень n-ой степени в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
$\sqrt[5]{10} = 10^{1/5}$.
Подставим это в исходное выражение:
$((10^{1/5})^{\sqrt{5}})^{-2\sqrt{5}}$.
Шаг 2: Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем перемножить все показатели степеней, так как они применяются последовательно.
$10^{\frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5})}$.
Шаг 3: Упростим получившийся показатель степени.
$\frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) = \frac{1}{5} \cdot (-2) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = \frac{1}{5} \cdot (-2) \cdot 5$.
Сократив 5, получаем: $-2$.
Шаг 4: Таким образом, все выражение равно $10^{-2}$.
Шаг 5: Вычислим значение.
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$.
Ответ: 0.01