Страница 10 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какими свойствами обладает степень с действительным показателем?

Степень с действительным показателем $a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, а показатель $x$ — любое действительное число, обладает следующими основными свойствами. Эти свойства являются обобщением свойств степени с рациональным показателем и широко используются при решении уравнений и неравенств, а также при преобразовании выражений. Для любых действительных чисел $x$, $y$ и для любых положительных чисел $a$, $b$ справедливы следующие свойства:

Произведение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковым положительным основанием их показатели складываются.
Ответ: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

Частное степеней с одинаковым основанием
При делении степеней с одинаковым положительным основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Ответ: $a^x : a^y = a^{x-y}$

Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается без изменений.
Ответ: $(a^x)^y = a^{xy}$

Степень произведения
Степень произведения двух или нескольких положительных чисел равна произведению степеней этих чисел.
Ответ: $(ab)^x = a^x b^x$

Степень частного
Степень частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.
Ответ: $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$

Сравнение степеней с основанием, большим единицы
Если основание степени больше единицы ($a > 1$), то большему показателю соответствует большее значение степени. Показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Ответ: Если $a > 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравнение степеней с основанием, меньшим единицы
Если основание степени — положительное число, меньшее единицы ($0 < a < 1$), то большему показателю соответствует меньшее значение степени. Показательная функция с таким основанием является убывающей.
Ответ: Если $0 < a < 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Сравнение степеней с одинаковым показателем
Для положительных оснований $a$ и $b$ ($0 < a < b$): если показатель степени $x$ положителен ($x > 0$), то $a^x < b^x$; если показатель степени $x$ отрицателен ($x < 0$), то $a^x > b^x$.
Ответ: Если $x > 0$ и $0 < a < b$, то $a^x < b^x$. Если $x < 0$ и $0 < a < b$, то $a^x > b^x$.

2. Сформулируйте свойства показательной функции.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где $a$ — основание степени, являющееся положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Основные свойства показательной функции:

Область определения

Аргумент $x$ может принимать любое действительное значение. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Математически это записывается как $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $y=a^x$ — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Область значений

Так как основание $a$ является положительным числом, то при возведении его в любую действительную степень $x$ результат всегда будет положительным числом. Значение $y=0$ не достигается.

Следовательно, область значений функции — это множество всех положительных действительных чисел: $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $y=a^x$ — множество всех положительных действительных чисел $(0; +\infty)$.

Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (осью ординат): происходит при $x = 0$. Получаем $y = a^0 = 1$. Таким образом, график любой показательной функции проходит через точку $(0; 1)$.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс): происходит при $y = 0$. Уравнение $a^x = 0$ не имеет решений, так как $a^x$ всегда больше нуля. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: График пересекает ось Oy в точке $(0; 1)$ и не пересекает ось Ox.

Монотонность

Характер монотонности функции зависит от величины основания $a$.

Если $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Ответ: При $a > 1$ функция строго возрастает, а при $0 < a < 1$ — строго убывает.

Четность и нечетность

Показательная функция не является ни четной, ни нечетной, так как не выполняется ни одно из условий: $f(-x) = f(x)$ (четность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетность). Для показательной функции $f(x) = a^x$ имеем $f(-x) = a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, что не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$.

Ответ: Показательная функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Экстремумы

Поскольку функция строго монотонна на всей области определения (либо всегда возрастает, либо всегда убывает), она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: Функция не имеет экстремумов.

Непрерывность

Показательная функция является непрерывной на всей своей области определения, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$. Ее график — это сплошная линия без разрывов.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $\mathbb{R}$.

Асимптоты

График показательной функции имеет горизонтальную асимптоту — ось абсцисс (прямая $y = 0$).

При $a > 1$ график приближается к асимптоте $y=0$ слева, когда $x \to -\infty$.

При $0 < a < 1$ график приближается к асимптоте $y=0$ справа, когда $x \to +\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота — $y=0$ (ось Ox).

Взаимная однозначность

Показательная функция является взаимно однозначной (инъективной). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствуют разные значения функции $y$. Это свойство позволяет определить для показательной функции обратную — логарифмическую функцию.

Ответ: Функция является взаимно однозначной.

1.1. Вычислите значение выражения:

1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$;

2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$;

4) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$.

1) $3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}}$

Для решения используем свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{(\sqrt{2}+1)^2} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2}}$

Сначала упростим показатель степени. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{2}+1)^2 - 2\sqrt{2} = ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 2\sqrt{2}$

$= (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 2\sqrt{2}$

$= 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$3^3 = 27$

Ответ: $27$

2) $((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Для решения используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае выражение можно прочитать как $( (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{3}}$.

$((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^3$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt[3]{7})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{7})^3$

Вычисляем каждую часть:

$3^3 = 27$

$(\sqrt[3]{7})^3 = 7$

Перемножаем результаты:

$27 \cdot 7 = 189$

Ответ: $189$

3) $\sqrt[3]{6(\sqrt{5}+1)^2 \cdot 36^{-\sqrt{5}}}$

Упростим выражение под знаком кубического корня. Сначала представим $36$ как степень числа $6$:

$36^{-\sqrt{5}} = (6^2)^{-\sqrt{5}} = 6^{-2\sqrt{5}}$

Теперь раскроем скобки в выражении $(\sqrt{5}+1)^2$ по формуле квадрата суммы:

$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$

Подставим полученные выражения обратно под корень:

$\sqrt[3]{6 \cdot (6 + 2\sqrt{5}) \cdot 6^{-2\sqrt{5}}}$

Объединим степени с основанием 6, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[3]{6^1 \cdot 6^{-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})} = \sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} \cdot (6 + 2\sqrt{5})}$

Выражение в данной форме не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: $\sqrt[3]{6^{1-2\sqrt{5}} (6 + 2\sqrt{5})}$

4) $((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$((\frac{1}{2})^{\sqrt{2}})^{-\sqrt{8}} = (\frac{1}{2})^{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8})}$

Упростим показатель степени:

$\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$

Подставим полученное значение в выражение:

$(\frac{1}{2})^{-4}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: $16$

1.2. Найдите значение выражения:

1) $5^{ (\sqrt{3}-1)^2 } : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}$ ;

2) $\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}$ ;

3) $\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}$ .

1) Для решения выражения $5^{(\sqrt{3}-1)^2} : (\frac{1}{5})^{2\sqrt{3}}$ необходимо последовательно упростить его части, используя свойства степеней.
Шаг 1: Упростим показатель степени первого множителя, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Таким образом, первая часть выражения равна $5^{4 - 2\sqrt{3}}$.
Шаг 2: Преобразуем вторую часть выражения. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы представить $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$.
$(\frac{1}{5})^{2\sqrt{3}} = (5^{-1})^{2\sqrt{3}}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются согласно правилу $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5^{-1})^{2\sqrt{3}} = 5^{-1 \cdot 2\sqrt{3}} = 5^{-2\sqrt{3}}$.
Шаг 3: Выполним деление степеней с одинаковым основанием. При делении степеней их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{4 - 2\sqrt{3}} : 5^{-2\sqrt{3}} = 5^{(4 - 2\sqrt{3}) - (-2\sqrt{3})} = 5^{4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} = 5^4$.
Шаг 4: Вычислим полученное значение.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Ответ: 625

2) Рассмотрим выражение $((\sqrt{2})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.
Шаг 1: Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. Применяя это правило дважды, мы можем перемножить все показатели:
$((\sqrt{2})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$.
Шаг 2: Упростим показатель степени.
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 = 6$.
Выражение принимает вид $(\sqrt{2})^6$.
Шаг 3: Представим квадратный корень как степень с показателем $\frac{1}{2}$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6$.
Шаг 4: Снова применяем правило возведения степени в степень.
$2^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^3$.
Шаг 5: Вычислим результат.
$2^3 = 8$.
Ответ: 8

3) Упростим выражение $((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}})^{-2\sqrt{5}}$.
Шаг 1: Представим корень n-ой степени в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
$\sqrt[5]{10} = 10^{1/5}$.
Подставим это в исходное выражение:
$((10^{1/5})^{\sqrt{5}})^{-2\sqrt{5}}$.
Шаг 2: Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем перемножить все показатели степеней, так как они применяются последовательно.
$10^{\frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5})}$.
Шаг 3: Упростим получившийся показатель степени.
$\frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) = \frac{1}{5} \cdot (-2) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = \frac{1}{5} \cdot (-2) \cdot 5$.
Сократив 5, получаем: $-2$.
Шаг 4: Таким образом, все выражение равно $10^{-2}$.
Шаг 5: Вычислим значение.
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$.
Ответ: 0.01

1.3. Докажите, что:

1) $\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}}$

2) $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = (16^{\sqrt{3}})^{-2}$

3) $\frac{12\sqrt{48} \cdot 2\sqrt[4]{12}}{\sqrt{108} \cdot 6\sqrt{27}} = 6\sqrt{3}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} - \sqrt{2}}$

Далее, упростим показатель степени. Представим $\sqrt{8}$ в виде $\sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это в показатель:

$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = (2-1)\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Таким образом, левая часть выражения равна:

$5^{\sqrt{2}}$

Мы получили, что левая часть равенства $5^{\sqrt{2}}$ равна его правой части $5^{\sqrt{2}}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части, приведя степени к основанию 2.

Преобразуем левую часть: $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}}$

Представим основания 4 и 1/8 как степени числа 2: $4=2^2$, $\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.

Также упростим показатель степени: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в левую часть:

$(2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{\sqrt{3} - 9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}$

Преобразуем правую часть: $(16^{\sqrt{3}})^{-2}$

Представим основание 16 как степень числа 2: $16=2^4$.

Подставим это значение в правую часть:

$((2^4)^{\sqrt{3}})^{-2} = (2^{4\sqrt{3}})^{-2}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{4\sqrt{3} \cdot (-2)} = 2^{-8\sqrt{3}}$

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же значению $2^{-8\sqrt{3}}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим корни в показателях степеней:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$; $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{4 \cdot 2\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}} = \frac{12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}}$

Теперь представим основания степеней 12, 4 и 6 через их простые множители (2 и 3): $12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$.

$\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}} = \frac{(2^2)^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$

Выполним деление, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{16\sqrt{3} - 15\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$

Наконец, применим свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$:

$(2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}$

Мы получили, что левая часть равна $6^{\sqrt{3}}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.