Страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.36. Представьте числа 1; 4; 8; 16; $1/32$; $1/64$; $\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{4}$; $\sqrt[6]{32}$ в виде степени

с основанием:

1) 2;

2) $1/2$.

1)

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 2, необходимо выразить каждое число через степени двойки, используя свойства степеней и корней.

• Число 1: Любое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $1 = 2^0$.

• Число 4: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.

• Число 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

• Число 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

• Число $\frac{1}{32}$: Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

• Число $\frac{1}{64}$: Аналогично, $64 = 2^6$, поэтому $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

• Число $\sqrt{2}$: Корень n-ой степени из числа $a$ можно представить как $a$ в степени $\frac{1}{n}$. Квадратный корень — это степень $\frac{1}{2}$. Таким образом, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

• Число $\sqrt[3]{4}$: Сначала представим подкоренное выражение как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. Затем используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Получаем $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.

• Число $\sqrt[6]{32}$: Представим 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$. Тогда $\sqrt[6]{32} = \sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $2^0$; $2^2$; $2^3$; $2^4$; $2^{-5}$; $2^{-6}$; $2^{\frac{1}{2}}$; $2^{\frac{2}{3}}$; $2^{\frac{5}{6}}$.

2)

Для представления чисел в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$ воспользуемся свойством $a^x = (\frac{1}{a})^{-x}$. Это означает, что показатели степени для основания $\frac{1}{2}$ будут иметь противоположный знак по сравнению с показателями для основания 2, найденными в пункте 1.

• Число 1: $1 = 2^0 = (\frac{1}{2})^0$.

• Число 4: $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

• Число 8: $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

• Число 16: $16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4}$.

• Число $\frac{1}{32}$: $\frac{1}{32} = 2^{-5} = (\frac{1}{2})^{-(-5)} = (\frac{1}{2})^5$.

• Число $\frac{1}{64}$: $\frac{1}{64} = 2^{-6} = (\frac{1}{2})^{-(-6)} = (\frac{1}{2})^6$.

• Число $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$.

• Число $\sqrt[3]{4}$: $\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}}$.

• Число $\sqrt[6]{32}$: $\sqrt[6]{32} = 2^{\frac{5}{6}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{5}{6}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^0$; $(\frac{1}{2})^{-2}$; $(\frac{1}{2})^{-3}$; $(\frac{1}{2})^{-4}$; $(\frac{1}{2})^5$; $(\frac{1}{2})^6$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}}$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{6}}$.

1.37. Представьте числа 1; 9; 81; $\frac{1}{27}$; $\sqrt{27}$; $\sqrt[5]{243}$ в виде степени с основанием:

1) 9;

2) $\frac{1}{9}$.

1) 9

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 9, мы будем использовать основные свойства степеней и корней. Общая стратегия для сложных чисел, таких как $\frac{1}{27}$ или $\sqrt{27}$, заключается в том, чтобы сначала представить и основание (9), и само число через степени более простого общего основания (в данном случае 3), а затем найти искомый показатель степени.

• Число 1: любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $1 = 9^0$.

• Число 9: любое число в степени 1 равно самому себе. Следовательно, $9 = 9^1$.

• Число 81: так как $81 = 9 \cdot 9$, то $81 = 9^2$.

• Число $\frac{1}{27}$: представим 9 и 27 как степени числа 3: $9=3^2$ и $27=3^3$. Тогда $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$. Нам нужно найти такое $x$, что $9^x = 3^{-3}$. Заменяя 9 на $3^2$, получаем $(3^2)^x = 3^{-3}$, или $3^{2x} = 3^{-3}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $2x = -3$, откуда $x = -\frac{3}{2}$. Таким образом, $\frac{1}{27} = 9^{-3/2}$.

• Число $\sqrt{27}$: также используем основание 3: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$. Нам нужно найти такое $x$, что $9^x = 3^{3/2}$. Заменяя 9 на $3^2$, получаем $(3^2)^x = 3^{3/2}$, или $3^{2x} = 3^{3/2}$. Приравнивая показатели, получаем $2x = \frac{3}{2}$, и $x = \frac{3}{4}$. Таким образом, $\sqrt{27} = 9^{3/4}$.

• Число $\sqrt[5]{243}$: сначала вычислим значение корня. Так как $243 = 3^5$, то $\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3^1 = 3$. Теперь представим 3 в виде степени с основанием 9. Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\sqrt[5]{243} = 9^{1/2}$.

Ответ: $9^0$; $9^1$; $9^2$; $9^{-3/2}$; $9^{3/4}$; $9^{1/2}$.

2) $\frac{1}{9}$

Теперь представим те же числа в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$. Для этого удобно использовать свойство степеней $(a^{-1})^x = a^{-x}$ и тот факт, что $\frac{1}{9} = 9^{-1}$. Если мы уже знаем, что некоторое число $N = 9^x$, то мы можем легко найти его представление с основанием $\frac{1}{9}$: $N = 9^x = ((\frac{1}{9})^{-1})^x = (\frac{1}{9})^{-x}$. Это означает, что показатель степени будет иметь противоположный знак по сравнению с результатами из первого пункта.

• Число 1: $1 = 9^0$. Показатель 0 не меняет знак, поэтому $1 = (\frac{1}{9})^0$.

• Число 9: $9 = 9^1$. Меняем знак показателя: $9 = (\frac{1}{9})^{-1}$.

• Число 81: $81 = 9^2$. Меняем знак показателя: $81 = (\frac{1}{9})^{-2}$.

• Число $\frac{1}{27}$: $\frac{1}{27} = 9^{-3/2}$. Меняем знак показателя: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{9})^{-(-3/2)} = (\frac{1}{9})^{3/2}$.

• Число $\sqrt{27}$: $\sqrt{27} = 9^{3/4}$. Меняем знак показателя: $\sqrt{27} = (\frac{1}{9})^{-3/4}$.

• Число $\sqrt[5]{243}$: $\sqrt[5]{243} = 9^{1/2}$. Меняем знак показателя: $\sqrt[5]{243} = (\frac{1}{9})^{-1/2}$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^0$; $(\frac{1}{9})^{-1}$; $(\frac{1}{9})^{-2}$; $(\frac{1}{9})^{3/2}$; $(\frac{1}{9})^{-3/4}$; $(\frac{1}{9})^{-1/2}$.

1.38. Упростите выражение:

1) $7^{x+1} + 7^x$;

2) $10^{x-2} - 10^x$;

3) $2^{x+1} + 2^{x-4}$;

4) $3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1}$;

5) $2^{x+3} + 3 \cdot 2^{x+2} - 5 \cdot 2^{x+1}$;

6) $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} + 36^{\frac{x}{2}} - 6^x$;

7) $9^{x+1} + 3^{2x+1}$;

8) $\sqrt{25^{x-2}} - 2 \cdot 5^x + (\sqrt{5})^{2x+4}$.

1) $7^{x+1} + 7^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы представить $7^{x+1}$ как $7^x \cdot 7^1$.

$7^{x+1} + 7^x = 7^x \cdot 7 + 7^x$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(7 + 1) = 7^x \cdot 8 = 8 \cdot 7^x$

Ответ: $8 \cdot 7^x$

2) $10^{x-2} - 10^x$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, чтобы представить $10^{x-2}$ как $10^x \cdot 10^{-2}$.

$10^{x-2} - 10^x = 10^x \cdot 10^{-2} - 10^x = 10^x \cdot \frac{1}{100} - 10^x$

Вынесем общий множитель $10^x$ за скобки:

$10^x \left(\frac{1}{100} - 1\right) = 10^x \left(\frac{1 - 100}{100}\right) = 10^x \left(-\frac{99}{100}\right) = -0.99 \cdot 10^x$

Ответ: $-0.99 \cdot 10^x$

3) $2^{x+1} + 2^{x-4}$

Используя свойства степеней, представим каждое слагаемое с множителем $2^x$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

$2^{x-4} = 2^x \cdot 2^{-4} = 2^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{2^x}{16}$

Подставим в исходное выражение и вынесем $2^x$ за скобки:

$2 \cdot 2^x + \frac{2^x}{16} = 2^x \left(2 + \frac{1}{16}\right) = 2^x \left(\frac{32}{16} + \frac{1}{16}\right) = 2^x \cdot \frac{33}{16}$

Ответ: $\frac{33}{16} \cdot 2^x$

4) $3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1}$

Представим каждое слагаемое с множителем $3^x$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в выражение и вынесем $3^x$ за скобки:

$3 \cdot 3^x + 3^x + \frac{3^x}{3} = 3^x \left(3 + 1 + \frac{1}{3}\right) = 3^x \left(4 + \frac{1}{3}\right) = 3^x \left(\frac{12}{3} + \frac{1}{3}\right) = 3^x \cdot \frac{13}{3}$

Ответ: $\frac{13}{3} \cdot 3^x$

5) $2^{x+3} + 3 \cdot 2^{x+2} - 5 \cdot 2^{x+1}$

Представим все слагаемые через наименьшую степень, то есть $2^{x+1}$:

$2^{x+3} = 2^{(x+1)+2} = 2^{x+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x+1}$

$3 \cdot 2^{x+2} = 3 \cdot 2^{(x+1)+1} = 3 \cdot 2^{x+1} \cdot 2^1 = 6 \cdot 2^{x+1}$

Подставим в выражение и вынесем $2^{x+1}$ за скобки:

$4 \cdot 2^{x+1} + 6 \cdot 2^{x+1} - 5 \cdot 2^{x+1} = 2^{x+1}(4 + 6 - 5) = 2^{x+1} \cdot 5 = 5 \cdot 2^{x+1}$

Ответ: $5 \cdot 2^{x+1}$

6) $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} + 36^{\frac{x}{2}} - 6^{x+1}$

Приведем все слагаемые к основанию 6:

$\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} = (6^{-1})^{1-x} = 6^{-1(1-x)} = 6^{x-1}$

$36^{\frac{x}{2}} = (6^2)^{\frac{x}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 6^x$

Выражение принимает вид: $6^{x-1} + 6^x - 6^{x+1}$

Вынесем $6^x$ за скобки:

$6^x \cdot 6^{-1} + 6^x - 6^x \cdot 6^1 = 6^x \left(\frac{1}{6} + 1 - 6\right) = 6^x \left(\frac{1}{6} - 5\right) = 6^x \left(\frac{1 - 30}{6}\right) = -\frac{29}{6} \cdot 6^x$

Ответ: $-\frac{29}{6} \cdot 6^x$

7) $9^{x+1} + 3^{2x+1}$

Приведем все слагаемые к основанию 3:

$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$

Выражение принимает вид: $3^{2x+2} + 3^{2x+1}$

Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x+1}$:

$3^{(2x+1)+1} + 3^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot 3^1 + 3^{2x+1} = 3^{2x+1}(3+1) = 4 \cdot 3^{2x+1}$

Ответ: $4 \cdot 3^{2x+1}$

8) $\sqrt{25^{x-2}} - 2 \cdot 5^x + (\sqrt{5})^{2x+4}$

Приведем все слагаемые к основанию 5:

$\sqrt{25^{x-2}} = (25^{x-2})^{\frac{1}{2}} = ((5^2)^{x-2})^{\frac{1}{2}} = (5^{2x-4})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{2x-4}{2}} = 5^{x-2}$

$(\sqrt{5})^{2x+4} = (5^{\frac{1}{2}})^{2x+4} = 5^{\frac{1}{2}(2x+4)} = 5^{x+2}$

Выражение принимает вид: $5^{x-2} - 2 \cdot 5^x + 5^{x+2}$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \cdot 5^{-2} - 2 \cdot 5^x + 5^x \cdot 5^2 = 5^x(\frac{1}{25} - 2 + 25) = 5^x(\frac{1}{25} + 23) = 5^x\left(\frac{1 + 23 \cdot 25}{25}\right) = 5^x\left(\frac{1+575}{25}\right) = \frac{576}{25} \cdot 5^x$

Ответ: $\frac{576}{25} \cdot 5^x$