Номер 1.36, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Готовимся к изучению новой темы - номер 1.36, страница 15.

Учебник.

1.36. Представьте числа 1; 4; 8; 16; $1/32$; $1/64$; $\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{4}$; $\sqrt[6]{32}$ в виде степени

с основанием:

1) 2;

2) $1/2$.

Решение.

Решение 2.

1)

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 2, необходимо выразить каждое число через степени двойки, используя свойства степеней и корней.

• Число 1: Любое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $1 = 2^0$.

• Число 4: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.

• Число 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

• Число 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

• Число $\frac{1}{32}$: Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

• Число $\frac{1}{64}$: Аналогично, $64 = 2^6$, поэтому $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

• Число $\sqrt{2}$: Корень n-ой степени из числа $a$ можно представить как $a$ в степени $\frac{1}{n}$. Квадратный корень — это степень $\frac{1}{2}$. Таким образом, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

• Число $\sqrt[3]{4}$: Сначала представим подкоренное выражение как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. Затем используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Получаем $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.

• Число $\sqrt[6]{32}$: Представим 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$. Тогда $\sqrt[6]{32} = \sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $2^0$; $2^2$; $2^3$; $2^4$; $2^{-5}$; $2^{-6}$; $2^{\frac{1}{2}}$; $2^{\frac{2}{3}}$; $2^{\frac{5}{6}}$.

2)

Для представления чисел в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$ воспользуемся свойством $a^x = (\frac{1}{a})^{-x}$. Это означает, что показатели степени для основания $\frac{1}{2}$ будут иметь противоположный знак по сравнению с показателями для основания 2, найденными в пункте 1.

• Число 1: $1 = 2^0 = (\frac{1}{2})^0$.

• Число 4: $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

• Число 8: $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

• Число 16: $16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4}$.

• Число $\frac{1}{32}$: $\frac{1}{32} = 2^{-5} = (\frac{1}{2})^{-(-5)} = (\frac{1}{2})^5$.

• Число $\frac{1}{64}$: $\frac{1}{64} = 2^{-6} = (\frac{1}{2})^{-(-6)} = (\frac{1}{2})^6$.

• Число $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$.

• Число $\sqrt[3]{4}$: $\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}}$.

• Число $\sqrt[6]{32}$: $\sqrt[6]{32} = 2^{\frac{5}{6}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{5}{6}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^0$; $(\frac{1}{2})^{-2}$; $(\frac{1}{2})^{-3}$; $(\frac{1}{2})^{-4}$; $(\frac{1}{2})^5$; $(\frac{1}{2})^6$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}}$; $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{6}}$.