Вопрос, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Вопросы к параграфу. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - страница 18.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
Вопрос (с. 18)
Учебник. Вопрос (с. 18)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 18, Учебник

Какую теорему и какое следствие из неё используют при решении показательных уравнений?

Решение 2. Вопрос (с. 18)

При решении показательных уравнений ключевую роль играют свойства показательной функции $y=a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.

Теорема

Используется теорема о строгой монотонности показательной функции.

Формулировка теоремы: Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) является строго монотонной на всей области определения (множестве действительных чисел $R$).

Это означает, что:

  • если основание $a > 1$, функция строго возрастает;
  • если $0 < a < 1$, функция строго убывает.

Главное свойство, вытекающее из строгой монотонности, заключается в том, что функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Иными словами, если значения функции равны, то равны и её аргументы.

Ответ: При решении показательных уравнений используется теорема о строгой монотонности показательной функции $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$).

Следствие из неё

На основе теоремы о монотонности формулируется следствие, которое является практическим инструментом для решения уравнений.

Формулировка следствия: Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, равносильно (имеет те же корни) уравнению $f(x) = g(x)$.

Объяснение: Так как показательная функция строго монотонна, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ возможно тогда и только тогда, когда равны показатели степеней, то есть $f(x) = g(x)$. Этот переход позволяет отбросить одинаковые основания и свести решение показательного уравнения к решению более простого уравнения (например, алгебраического), связывающего показатели.

Пример: Решим уравнение $5^{2x-4} = 25$.
1. Приведем обе части уравнения к одному основанию: $5^{2x-4} = 5^2$.
2. Используя следствие, приравняем показатели: $2x-4 = 2$.
3. Решим полученное линейное уравнение: $2x = 6$, откуда $x = 3$.

Ответ: Следствие заключается в том, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения Вопрос расположенного на странице 18 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению Вопрос (с. 18), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться