Вопрос, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 2. Показательные уравнения. Вопросы к параграфу - страница 18.

Учебник.

Какую теорему и какое следствие из неё используют при решении показательных уравнений?

Решение 2.

При решении показательных уравнений ключевую роль играют свойства показательной функции $y=a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.

Теорема

Используется теорема о строгой монотонности показательной функции.

Формулировка теоремы: Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) является строго монотонной на всей области определения (множестве действительных чисел $R$).

Это означает, что:

• если основание $a > 1$, функция строго возрастает;
• если $0 < a < 1$, функция строго убывает.

Главное свойство, вытекающее из строгой монотонности, заключается в том, что функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Иными словами, если значения функции равны, то равны и её аргументы.

Ответ: При решении показательных уравнений используется теорема о строгой монотонности показательной функции $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$).

Следствие из неё

На основе теоремы о монотонности формулируется следствие, которое является практическим инструментом для решения уравнений.

Формулировка следствия: Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, равносильно (имеет те же корни) уравнению $f(x) = g(x)$.

Объяснение: Так как показательная функция строго монотонна, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ возможно тогда и только тогда, когда равны показатели степеней, то есть $f(x) = g(x)$. Этот переход позволяет отбросить одинаковые основания и свести решение показательного уравнения к решению более простого уравнения (например, алгебраического), связывающего показатели.

Пример: Решим уравнение $5^{2x-4} = 25$.
1. Приведем обе части уравнения к одному основанию: $5^{2x-4} = 5^2$.
2. Используя следствие, приравняем показатели: $2x-4 = 2$.
3. Решим полученное линейное уравнение: $2x = 6$, откуда $x = 3$.

Ответ: Следствие заключается в том, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.