Номер 2.3, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.3, страница 19.

2.3. Решите уравнение:

1) $3^{x+2} + 3^x = 30$;

2) $4^{x+1} + 4^{x-2} = 260$;

3) $2^{x+4} - 2^x = 120$;

4) $7^{x+1} + 4 \cdot 7^x = 77$;

5) $5^x + 7 \cdot 5^{x-2} = 160$;

6) $6^{x+1} - 4 \cdot 6^{x-1} = 192$.

1) $3^{x+2} + 3^x = 30$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем уравнение. Затем вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30$

$3^x(3^2 + 1) = 30$

$3^x(9 + 1) = 30$

$3^x \cdot 10 = 30$

Разделим обе части на 10:

$3^x = 3$

Представим 3 как $3^1$:

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

---

2) $4^{x+1} + 4^{x-2} = 260$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^{-2} = 260$

$4^x(4 + 4^{-2}) = 260$

$4^x(4 + \frac{1}{16}) = 260$

$4^x(\frac{64}{16} + \frac{1}{16}) = 260$

$4^x \cdot \frac{65}{16} = 260$

Найдем $4^x$:

$4^x = 260 \cdot \frac{16}{65}$

$4^x = 4 \cdot 16$

$4^x = 64$

Представим 64 как степень 4:

$4^x = 4^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

---

3) $2^{x+4} - 2^x = 120$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120$

$2^x(2^4 - 1) = 120$

$2^x(16 - 1) = 120$

$2^x \cdot 15 = 120$

Разделим обе части на 15:

$2^x = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

---

4) $7^{x+1} + 4 \cdot 7^x = 77$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^x = 77$

$7^x(7 + 4) = 77$

$7^x \cdot 11 = 77$

Разделим обе части на 11:

$7^x = 7$

Представим 7 как $7^1$:

$7^x = 7^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

---

5) $5^x + 7 \cdot 5^{x-2} = 160$

Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x + 7 \cdot 5^x \cdot 5^{-2} = 160$

$5^x(1 + 7 \cdot 5^{-2}) = 160$

$5^x(1 + \frac{7}{25}) = 160$

$5^x(\frac{25}{25} + \frac{7}{25}) = 160$

$5^x \cdot \frac{32}{25} = 160$

Найдем $5^x$:

$5^x = 160 \cdot \frac{25}{32}$

$5^x = 5 \cdot 25$

$5^x = 125$

Представим 125 как степень 5:

$5^x = 5^3$

$x = 3$

Ответ: 3.

---

6) $6^{x+1} - 4 \cdot 6^{x-1} = 192$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:

$6^x \cdot 6^1 - 4 \cdot 6^x \cdot 6^{-1} = 192$

$6^x(6 - 4 \cdot 6^{-1}) = 192$

$6^x(6 - \frac{4}{6}) = 192$

$6^x(6 - \frac{2}{3}) = 192$

$6^x(\frac{18}{3} - \frac{2}{3}) = 192$

$6^x \cdot \frac{16}{3} = 192$

Найдем $6^x$:

$6^x = 192 \cdot \frac{3}{16}$

$6^x = 12 \cdot 3$

$6^x = 36$

Представим 36 как степень 6:

$6^x = 6^2$

$x = 2$

Ответ: 2.