Номер 2.10, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.10, страница 19.

2.10. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31$;

2) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$;

3) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 9$;

4) $2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$;

5) $6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-1}{2}} = 246$;

6) $5 \cdot 2^{x-1} - 6 \cdot 2^{x-2} - 7 \cdot 2^{x-3} = 8^{x^2-1}$.

1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки.

$5^x \cdot 5^1 + 5^x \cdot 1 + 5^x \cdot 5^{-1} = 31$

$5^x (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31$

Вычислим значение в скобках:

$5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{30}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$

Подставим обратно в уравнение:

$5^x \cdot \frac{31}{5} = 31$

Разделим обе части на 31 и умножим на 5:

$5^x = \frac{31 \cdot 5}{31}$

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$

2) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки, используя свойства степеней.

$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} - 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 17$

$3^x (3 - 2 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{9}) = 17$

Вычислим значение в скобках:

$3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 6 - 4}{9} = \frac{17}{9}$

Подставим обратно в уравнение:

$3^x \cdot \frac{17}{9} = 17$

Разделим обе части на 17 и умножим на 9:

$3^x = \frac{17 \cdot 9}{17}$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

3) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 9$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки.

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} - 2^x \cdot 2^{-2} = 9$

$2^x (4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 9$

Вычислим значение в скобках:

$4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$

Подставим обратно в уравнение:

$2^x \cdot \frac{9}{4} = 9$

Разделим обе части на 9 и умножим на 4:

$2^x = \frac{9 \cdot 4}{9}$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

4) $2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки.

$2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^1 + 3^{2x} \cdot 3^{-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36$

$3^{2x} (2 \cdot 3 + \frac{1}{3} - 5) = 36$

Вычислим значение в скобках:

$6 + \frac{1}{3} - 5 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}$

Подставим обратно в уравнение:

$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 36$

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$:

$3^{2x} = 36 \cdot \frac{3}{4}$

$3^{2x} = 9 \cdot 3$

$3^{2x} = 27$

$3^{2x} = 3^3$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $x=\frac{3}{2}$

5) $6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-1}{2}} = 246$

Приведем все слагаемые к основанию 6.

$\left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} = (6^{-1})^{3-x} = 6^{-1 \cdot (3-x)} = 6^{x-3}$

$36^{\frac{x-1}{2}} = (6^2)^{\frac{x-1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x-1}{2}} = 6^{x-1}$

Перепишем уравнение:

$6^{x-2} - 6^{x-3} + 6^{x-1} = 246$

Вынесем за скобки общий множитель $6^{x-3}$:

$6^{(x-3)+1} - 6^{x-3} + 6^{(x-3)+2} = 246$

$6^{x-3} \cdot 6^1 - 6^{x-3} \cdot 1 + 6^{x-3} \cdot 6^2 = 246$

$6^{x-3} (6 - 1 + 36) = 246$

$6^{x-3} \cdot 41 = 246$

Разделим обе части на 41:

$6^{x-3} = \frac{246}{41}$

$6^{x-3} = 6$

$6^{x-3} = 6^1$

$x - 3 = 1$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

6) $5 \cdot 2^{x-1} - 6 \cdot 2^{x-2} - 7 \cdot 2^{x-3} = 8^{x^2-1}$

Упростим левую и правую части уравнения.

Левая часть: вынесем за скобки $2^{x-3}$.

$5 \cdot 2^{(x-3)+2} - 6 \cdot 2^{(x-3)+1} - 7 \cdot 2^{x-3} = 5 \cdot 2^2 \cdot 2^{x-3} - 6 \cdot 2^1 \cdot 2^{x-3} - 7 \cdot 2^{x-3}$

$= 2^{x-3} (5 \cdot 4 - 6 \cdot 2 - 7)$

$= 2^{x-3} (20 - 12 - 7)$

$= 2^{x-3} \cdot 1 = 2^{x-3}$

Правая часть: приведем к основанию 2.

$8^{x^2-1} = (2^3)^{x^2-1} = 2^{3(x^2-1)} = 2^{3x^2-3}$

Теперь приравняем упрощенные части:

$2^{x-3} = 2^{3x^2-3}$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 3x^2 - 3$

$3x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x-1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $x_1=0, x_2=\frac{1}{3}$