Номер 2.15, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 2. Показательные уравнения. Упражнения - номер 2.15, страница 20.

Учебник.

2.15. Решите уравнение:

1) $27^{\frac{2}{x}} - 2 \cdot 3^{\frac{x+3}{x}} - 27 = 0;$

2) $\sqrt[3]{49^x} - 50\sqrt[3]{7^{x-3}} + 1 = 0;$

3) $2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}} + 1;$

4) $3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2-\sqrt{x-5}} = 6;$

5) $5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{\sin^2 x} = 3;$

6) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

7) $4\text{tg}^2 x + 2^{\frac{1}{\cos^2 x}} - 80 = 0.$

Решение.

Решение 2.

1) $27^{\frac{2}{x}} - 2 \cdot 3^{\frac{x+3}{x}} - 27 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3:
$27^{\frac{2}{x}} = (3^3)^{\frac{2}{x}} = 3^{\frac{6}{x}}$
$3^{\frac{x+3}{x}} = 3^{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = 3^{1 + \frac{3}{x}} = 3^1 \cdot 3^{\frac{3}{x}} = 3 \cdot 3^{\frac{3}{x}}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$3^{\frac{6}{x}} - 2 \cdot (3 \cdot 3^{\frac{3}{x}}) - 27 = 0$
$(3^{\frac{3}{x}})^2 - 6 \cdot 3^{\frac{3}{x}} - 27 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\frac{3}{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 6y - 27 = 0$
Решим его. По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 9$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, $y = 9$.
Вернемся к исходной переменной:
$3^{\frac{3}{x}} = 9$
$3^{\frac{3}{x}} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3}{x} = 2$
$x = \frac{3}{2}$.
Корень $x = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

2) $\sqrt[3]{49^x} - 50 \sqrt[3]{7^{x-3}} + 1 = 0$
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 7:
$\sqrt[3]{49^x} = (49^x)^{\frac{1}{3}} = ((7^2)^x)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2x}{3}}$
$\sqrt[3]{7^{x-3}} = (7^{x-3})^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{x-3}{3}} = 7^{\frac{x}{3} - 1} = 7^{\frac{x}{3}} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}}$
Подставим в уравнение:
$7^{\frac{2x}{3}} - 50 \cdot (\frac{1}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}}) + 1 = 0$
$(7^{\frac{x}{3}})^2 - \frac{50}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}} + 1 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 7^{\frac{x}{3}}$, где $y > 0$.
$y^2 - \frac{50}{7}y + 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7y^2 - 50y + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.
$y_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 7} = \frac{50 \pm 48}{14}$
$y_1 = \frac{50 + 48}{14} = \frac{98}{14} = 7$
$y_2 = \frac{50 - 48}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
Случай 1: $y_1 = 7$.
$7^{\frac{x}{3}} = 7^1 \implies \frac{x}{3} = 1 \implies x_1 = 3$.
Случай 2: $y_2 = \frac{1}{7}$.
$7^{\frac{x}{3}} = 7^{-1} \implies \frac{x}{3} = -1 \implies x_2 = -3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

3) $2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}} + 1$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Преобразуем правую часть уравнения: $2^{2-\sqrt{x+1}} = 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}} = \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$.
Уравнение принимает вид:
$2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}} + 1$
$2^{\sqrt{x+1}} = \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}} + 1$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x+1}} \ge 2^0 = 1$.
$y = \frac{12}{y} + 1$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$y^2 = 12 + y$
$y^2 - y - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Значит, $y = 4$.
Вернемся к замене:
$2^{\sqrt{x+1}} = 4$
$2^{\sqrt{x+1}} = 2^2$
$\sqrt{x+1} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x+1 = 4 \implies x=3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $x = 3$.

4) $3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2-\sqrt{x-5}} = 6$
ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
Преобразуем второе слагаемое: $3^{2-\sqrt{x-5}} = 3^2 \cdot 3^{-\sqrt{x-5}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}}$.
Уравнение принимает вид:
$3^{\sqrt{x-5}} + \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}} = 6$
Сделаем замену. Пусть $y = 3^{\sqrt{x-5}}$. Так как $\sqrt{x-5} \ge 0$, то $y = 3^{\sqrt{x-5}} \ge 3^0 = 1$.
$y + \frac{9}{y} = 6$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$y^2 + 9 = 6y$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это полный квадрат: $(y-3)^2 = 0$.
Отсюда $y=3$.
Корень $y=3$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Вернемся к замене:
$3^{\sqrt{x-5}} = 3$
$3^{\sqrt{x-5}} = 3^1$
$\sqrt{x-5} = 1$
Возведем в квадрат:
$x-5 = 1 \implies x=6$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 5$).
Ответ: $x = 6$.

5) $5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{\sin^2 x} = 3$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим в уравнение:
$5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{1-\cos^2 x} = 3$
$5 \cdot 2^{\cos^2 x} - \frac{2}{2^{\cos^2 x}} = 3$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\cos^2 x} \le 2^1$, то есть $1 \le y \le 2$.
$5y - \frac{2}{y} = 3$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$5y^2 - 2 = 3y$
$5y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$y_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{10}$
$y_1 = \frac{3+7}{10} = 1$
$y_2 = \frac{3-7}{10} = -0.4$
Корень $y_2 = -0.4$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 2$.
Следовательно, $y = 1$.
Вернемся к замене:
$2^{\cos^2 x} = 1$
$2^{\cos^2 x} = 2^0$
$\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставим в уравнение:
$4^{2\cos^2 x - 1} + 4^{\cos^2 x} = 3$
$\frac{4^{2\cos^2 x}}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$
$\frac{(4^{\cos^2 x})^2}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$
Сделаем замену. Пусть $y = 4^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $4^0 \le 4^{\cos^2 x} \le 4^1$, то есть $1 \le y \le 4$.
$\frac{y^2}{4} + y = 3$
Умножим на 4:
$y^2 + 4y = 12$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$.
Следовательно, $y = 2$.
Вернемся к замене:
$4^{\cos^2 x} = 2$
$(2^2)^{\cos^2 x} = 2^1$
$2^{2\cos^2 x} = 2^1$
$2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.
$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

7) $4^{\tg^2 x} + 2^{\frac{1}{\cos^2 x}} - 80 = 0$
ОДЗ: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тригонометрическое тождество: $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$.
Подставим в уравнение:
$4^{\tg^2 x} + 2^{1+\tg^2 x} - 80 = 0$
$(2^2)^{\tg^2 x} + 2^1 \cdot 2^{\tg^2 x} - 80 = 0$
$(2^{\tg^2 x})^2 + 2 \cdot 2^{\tg^2 x} - 80 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\tg^2 x}$. Так как $\tg^2 x \ge 0$, то $y = 2^{\tg^2 x} \ge 2^0 = 1$.
$y^2 + 2y - 80 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -10$.
Корень $y_2 = -10$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Следовательно, $y = 8$.
Вернемся к замене:
$2^{\tg^2 x} = 8$
$2^{\tg^2 x} = 2^3$
$\tg^2 x = 3 \implies \tg x = \pm \sqrt{3}$.
Если $\tg x = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\tg x = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.