Номер 2.19, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.19, страница 20.

2.19. Решите уравнение $\sqrt{4^x - 2^x - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x - 7}.$

Данное уравнение $\sqrt{4^x - 2^x - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x - 7}$ является иррациональным. Для его решения необходимо в первую очередь определить область допустимых значений (ОДЗ).

По определению арифметического квадратного корня, выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases}4^x - 2^x - 3 \ge 0 \\4 \cdot 2^x - 7 \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. Для удобства введем замену $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Учтем, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$.

Решим первое неравенство: $t^2 - t - 3 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 3 = 0$ по формуле корней:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.Графиком функции $y = t^2 - t - 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ или $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. С учетом условия $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Решим второе неравенство: $4 \cdot 2^x - 7 \ge 0$.$4 \cdot 2^x \ge 7$$2^x \ge \frac{7}{4}$.В терминах переменной $t$ это означает $t \ge \frac{7}{4}$.

ОДЗ определяется пересечением полученных решений, то есть $t$ должно удовлетворять обоим условиям: $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $t \ge \frac{7}{4}$.Сравним числа $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $\frac{7}{4}$.$\frac{7}{4} = 1.75$.Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1+3 < 1+\sqrt{13} < 1+4$, то есть $4 < 1+\sqrt{13} < 5$.Тогда $\frac{4}{2} < \frac{1+\sqrt{13}}{2} < \frac{5}{2}$, то есть $2 < \frac{1+\sqrt{13}}{2} < 2.5$.Поскольку $1.75 < 2$, имеем $\frac{7}{4} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.Таким образом, более сильным является условие $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$, или, возвращаясь к исходной переменной, $2^x \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Теперь решим само уравнение. На области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$4^x - 2^x - 3 = 4 \cdot 2^x - 7$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4^x - 2^x - 4 \cdot 2^x - 3 + 7 = 0$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Снова применим замену $t = 2^x$ ($t > 0$):

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $2^x = t_1 = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = t_2 = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ: $2^x \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Для $x = 0$: $2^0 = 1$. Проверяем неравенство $1 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Умножим обе части на 2: $2 \ge 1 + \sqrt{13}$, что равносильно $1 \ge \sqrt{13}$. Это неверно, так как $1 < \sqrt{13}$. Следовательно, $x=0$ является посторонним корнем.

Для $x = 2$: $2^2 = 4$. Проверяем неравенство $4 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Умножим обе части на 2: $8 \ge 1 + \sqrt{13}$, что равносильно $7 \ge \sqrt{13}$. Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $49 \ge 13$. Это верное неравенство. Следовательно, $x=2$ является решением уравнения.

Ответ: $2$.