Номер 2.20, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 2. Показательные уравнения. Упражнения - номер 2.20, страница 20.

Учебник.

2.20. Решите уравнение $\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$.

Решение.

Решение 2.

Данное уравнение является иррациональным показательным уравнением. Исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$

Для решения такого уравнения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 1 + 3^x - 9^x \ge 0 \\ 4 - 3 \cdot 3^x \ge 0 \end{cases} $

При условии выполнения ОДЗ мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны. Это преобразование будет равносильным.

$1 + 3^x - 9^x = 4 - 3 \cdot 3^x$

Для дальнейшего решения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Также отметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$1 + t - t^2 = 4 - 3t$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - t - 3t - 1 + 4 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$

Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Запишем ОДЗ в терминах переменной $t$:

$ \begin{cases} 1 + t - t^2 \ge 0 \\ 4 - 3t \ge 0 \\ t > 0 \end{cases} $

Проверка для $t_1 = 1$:

1) $1 + 1 - 1^2 = 1 \ge 0$ (верно)

2) $4 - 3 \cdot 1 = 1 \ge 0$ (верно)

3) $1 > 0$ (верно)

Все условия выполняются, следовательно, $t_1 = 1$ является решением.

Проверка для $t_2 = 3$:

1) $1 + 3 - 3^2 = 4 - 9 = -5$. Условие $-5 \ge 0$ не выполняется.

Можно не проверять остальные условия. Корень $t_2 = 3$ является посторонним.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t = 1$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$3^x = t$

$3^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, мы можем записать $1$ как $3^0$:

$3^x = 3^0$

Отсюда получаем:

$x = 0$

Ответ: $0$