Номер 2.20, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.20, страница 20.
№2.20 (с. 20)
Учебник. №2.20 (с. 20)
скриншот условия

2.20. Решите уравнение $\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$.
Решение. №2.20 (с. 20)

Решение 2. №2.20 (с. 20)
Данное уравнение является иррациональным показательным уравнением. Исходное уравнение:
$\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$
Для решения такого уравнения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 1 + 3^x - 9^x \ge 0 \\ 4 - 3 \cdot 3^x \ge 0 \end{cases} $
При условии выполнения ОДЗ мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны. Это преобразование будет равносильным.
$1 + 3^x - 9^x = 4 - 3 \cdot 3^x$
Для дальнейшего решения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Также отметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$1 + t - t^2 = 4 - 3t$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - t - 3t - 1 + 4 = 0$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
- Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
- Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$
Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Запишем ОДЗ в терминах переменной $t$:
$ \begin{cases} 1 + t - t^2 \ge 0 \\ 4 - 3t \ge 0 \\ t > 0 \end{cases} $
Проверка для $t_1 = 1$:
1) $1 + 1 - 1^2 = 1 \ge 0$ (верно)
2) $4 - 3 \cdot 1 = 1 \ge 0$ (верно)
3) $1 > 0$ (верно)
Все условия выполняются, следовательно, $t_1 = 1$ является решением.
Проверка для $t_2 = 3$:
1) $1 + 3 - 3^2 = 4 - 9 = -5$. Условие $-5 \ge 0$ не выполняется.
Можно не проверять остальные условия. Корень $t_2 = 3$ является посторонним.
Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t = 1$.
Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
$3^x = t$
$3^x = 1$
Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, мы можем записать $1$ как $3^0$:
$3^x = 3^0$
Отсюда получаем:
$x = 0$
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.20 расположенного на странице 20 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.20 (с. 20), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.