Номер 3.4, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.4, страница 23.

Учебник.

3.4. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $0.2 \le 5^{x+4} \le 125$;

2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$;

3) $2 < 0.5^{x-1} \le 32?$

Решение.

Решение 2.

1) $0,2 \le 5^{x+4} \le 125$

Для решения показательного неравенства приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.

Представим $0,2$ и $125$ в виде степени с основанием 5:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^{-1} \le 5^{x+4} \le 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются.

$-1 \le x+4 \le 3$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Вычтем 4 из каждой части неравенства:

$-1 - 4 \le x \le 3 - 4$

$-5 \le x \le -1$

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1.

Подсчитаем количество этих решений: 5.

Ответ: 5

2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$

Приведем все части неравенства к основанию 6.

$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$

$6 = 6^1$

Подставим эти значения в неравенство:

$6^{-2} \le 6^{3-x} < 6^1$

Основание степени $6 > 1$, поэтому функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.

$-2 \le 3-x < 1$

Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 3 из всех частей:

$-2 - 3 \le -x < 1 - 3$

$-5 \le -x < -2$

Теперь умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$5 \ge x > 2$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$2 < x \le 5$

Целыми решениями этого неравенства являются числа: 3, 4, 5.

Всего целых решений: 3.

Ответ: 3

3) $2 < 0,5^{x-1} \le 32$

Приведем все части неравенства к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.

Представим $0,5$ и $32$ в виде степени с основанием 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$32 = 2^5$

Среднюю часть неравенства также преобразуем:

$0,5^{x-1} = (2^{-1})^{x-1} = 2^{-(x-1)} = 2^{1-x}$

Подставим все в исходное неравенство:

$2^1 < 2^{1-x} \le 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.

$1 < 1-x \le 5$

Решим полученное двойное неравенство. Вычтем 1 из всех частей:

$1 - 1 < -x \le 5 - 1$

$0 < -x \le 4$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$0 > x \ge -4$

Запишем в стандартном виде:

$-4 \le x < 0$

Целыми решениями этого неравенства являются числа: -4, -3, -2, -1.

Всего целых решений: 4.

Ответ: 4