Номер 3.4, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.4, страница 23.
№3.4 (с. 23)
Учебник. №3.4 (с. 23)
скриншот условия

3.4. Сколько целых решений имеет неравенство:
1) $0.2 \le 5^{x+4} \le 125$;
2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$;
3) $2 < 0.5^{x-1} \le 32?$
Решение. №3.4 (с. 23)

Решение 2. №3.4 (с. 23)
1) $0,2 \le 5^{x+4} \le 125$
Для решения показательного неравенства приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.
Представим $0,2$ и $125$ в виде степени с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$5^{-1} \le 5^{x+4} \le 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются.
$-1 \le x+4 \le 3$
Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Вычтем 4 из каждой части неравенства:
$-1 - 4 \le x \le 3 - 4$
$-5 \le x \le -1$
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1.
Подсчитаем количество этих решений: 5.
Ответ: 5
2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$
Приведем все части неравенства к основанию 6.
$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$
$6 = 6^1$
Подставим эти значения в неравенство:
$6^{-2} \le 6^{3-x} < 6^1$
Основание степени $6 > 1$, поэтому функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.
$-2 \le 3-x < 1$
Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 3 из всех частей:
$-2 - 3 \le -x < 1 - 3$
$-5 \le -x < -2$
Теперь умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$5 \ge x > 2$
Это неравенство можно записать в более привычном виде:
$2 < x \le 5$
Целыми решениями этого неравенства являются числа: 3, 4, 5.
Всего целых решений: 3.
Ответ: 3
3) $2 < 0,5^{x-1} \le 32$
Приведем все части неравенства к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.
Представим $0,5$ и $32$ в виде степени с основанием 2:
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$32 = 2^5$
Среднюю часть неравенства также преобразуем:
$0,5^{x-1} = (2^{-1})^{x-1} = 2^{-(x-1)} = 2^{1-x}$
Подставим все в исходное неравенство:
$2^1 < 2^{1-x} \le 2^5$
Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.
$1 < 1-x \le 5$
Решим полученное двойное неравенство. Вычтем 1 из всех частей:
$1 - 1 < -x \le 5 - 1$
$0 < -x \le 4$
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$0 > x \ge -4$
Запишем в стандартном виде:
$-4 \le x < 0$
Целыми решениями этого неравенства являются числа: -4, -3, -2, -1.
Всего целых решений: 4.
Ответ: 4
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.4 расположенного на странице 23 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.4 (с. 23), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.