Номер 3.7, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.7, страница 24.

3.7. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^x - 16}$;

2) $f(x) = \sqrt{1 - 6^{x-4}}$.

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{(\frac{1}{4})^x - 16}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$(\frac{1}{4})^x - 16 \ge 0$

Перенесем 16 в правую часть неравенства:

$(\frac{1}{4})^x \ge 16$

Представим обе части неравенства в виде степени с одним основанием. В качестве основания можно выбрать 4. Так как $\frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $16 = 4^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(4^{-1})^x \ge 4^2$

$4^{-x} \ge 4^2$

Так как основание степени $4 > 1$, то при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -2$

Следовательно, область определения функции — это множество всех чисел, меньших или равных -2.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2]$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - 6^{x-4}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$1 - 6^{x-4} \ge 0$

Перенесем $6^{x-4}$ в правую часть неравенства:

$1 \ge 6^{x-4}$

Представим число 1 в левой части как степень с основанием 6, то есть $1 = 6^0$:

$6^0 \ge 6^{x-4}$

Поскольку основание степени $6 > 1$, то при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$0 \ge x - 4$

Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 4$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех чисел, меньших или равных 4.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.