Номер 3.13, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.13, страница 25.

3.13. Решите неравенство:

1) $9^{x+1} - 2 \cdot 3^x - 7 \le 0$;

2) $2^x + 2^{\frac{x}{2}} - 72 \ge 0$;

3) $(\frac{1}{4})^x - 3 \cdot (\frac{1}{2})^x + 2 > 0$;

4) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \le 0$.

1) Исходное неравенство: $9^{x+1} - 2 \cdot 3^x - 7 \le 0$.
Преобразуем $9^{x+1}$: $9^{x+1} = 9^x \cdot 9^1 = (3^2)^x \cdot 9 = 9 \cdot (3^x)^2$.
Подставим это в неравенство: $9 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x - 7 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получим квадратное неравенство относительно $t$: $9t^2 - 2t - 7 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 2t - 7 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 16}{18} = \frac{-14}{18} = -\frac{7}{9}$ и $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 9t^2 - 2t - 7$ направлены вверх, неравенство $9t^2 - 2t - 7 \le 0$ выполняется при $t \in [-\frac{7}{9}, 1]$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$: $0 < 3^x \le 1$.
Неравенство $3^x > 0$ выполняется для любого $x$.
Решим неравенство $3^x \le 1$. Представим $1$ как $3^0$: $3^x \le 3^0$.
Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x \le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

2) Исходное неравенство: $2^x + 2^{\frac{x}{2}} - 72 \ge 0$.
Заметим, что $2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$.
Неравенство принимает вид: $(2^{\frac{x}{2}})^2 + 2^{\frac{x}{2}} - 72 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\frac{x}{2}}$. Так как $t$ - это значение показательной функции, $t > 0$.
Получим квадратное неравенство: $t^2 + t - 72 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 + t - 72 = 0$. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -72$. Корни: $t_1 = -9$ и $t_2 = 8$.
Ветви параболы $y=t^2 + t - 72$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le -9$ или $t \ge 8$.
Возвращаемся к замене. Учитывая, что $t > 0$, вариант $t \le -9$ невозможен.
Остается $t \ge 8$.
Подставляем обратно $2^{\frac{x}{2}}$: $2^{\frac{x}{2}} \ge 8$.
Представим $8$ как степень двойки: $8 = 2^3$.
$2^{\frac{x}{2}} \ge 2^3$.
Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\frac{x}{2} \ge 3$.
Умножим обе части на 2: $x \ge 6$.
Ответ: $x \in [6, +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^x - 3 \cdot (\frac{1}{2})^x + 2 > 0$.
Заметим, что $(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = ((\frac{1}{2})^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $((\frac{1}{2})^x)^2 - 3 \cdot (\frac{1}{2})^x + 2 > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Тогда $t > 0$.
Получим квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Ветви параболы $y=t^2 - 3t + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < 1$ или $t > 2$.
Возвращаемся к замене: $(\frac{1}{2})^x < 1$ или $(\frac{1}{2})^x > 2$.
Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^x < 1$. Представим $1$ как $(\frac{1}{2})^0$: $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{2})^0$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0$.
Решим второе неравенство: $(\frac{1}{2})^x > 2$. Представим $2$ как $(\frac{1}{2})^{-1}$: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{-1}$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $x < -1$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \le 0$.
Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $(5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 25 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Тогда $t > 0$.
Получим квадратное неравенство: $t^2 - 26t + 25 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 26$ и $t_1 \cdot t_2 = 25$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.
Ветви параболы $y=t^2 - 26t + 25$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $1 \le t \le 25$.
Условие $t>0$ выполняется на этом промежутке.
Возвращаемся к замене: $1 \le 5^x \le 25$.
Представим $1$ и $25$ как степени пятерки: $1 = 5^0$, $25 = 5^2$.
$5^0 \le 5^x \le 5^2$.
Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенств сохраняются: $0 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [0, 2]$.