Номер 3.14, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.14, страница 25.

3.14. Решите неравенство:

1) $\frac{5^x - 125}{x^2 - 4x + 4} \leq 0;$

2) $\frac{2^x - 1}{x - 1} > 0.$

1)

Решим неравенство $\frac{5^x - 125}{x^2 - 4x + 4} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 4x + 4 \neq 0$.

Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Тогда условие ОДЗ: $(x-2)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Перепишем исходное неравенство с учетом этого:
$\frac{5^x - 125}{(x-2)^2} \le 0$.

Так как для любого $x$ из ОДЗ знаменатель $(x-2)^2$ всегда строго больше нуля, знак дроби определяется знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно системе условий: $5^x - 125 \le 0$ и $x \neq 2$.

Решим первое неравенство:
$5^x - 125 \le 0$
$5^x \le 125$

Представим 125 как степень пятерки: $125 = 5^3$.
$5^x \le 5^3$.

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив его знак:
$x \le 3$.

Объединим полученное решение с условием ОДЗ ($x \neq 2$). Решением будет множество всех чисел, которые меньше или равны 3, за исключением числа 2.
В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3]$.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, 3]$.

2)

Решим неравенство $\frac{2^x - 1}{x - 1} > 0$.

Это неравенство удобно решать методом рационализации (или обобщенным методом интервалов). Согласно этому методу, знак выражения вида $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ при $a>1$ совпадает со знаком выражения $f(x) - g(x)$.

Преобразуем числитель: $2^x - 1 = 2^x - 2^0$.

Так как основание $2 > 1$, знак выражения $2^x - 2^0$ совпадает со знаком разности показателей $x - 0$, то есть со знаком $x$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
$\frac{x}{x-1} > 0$.

Решим его методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
Нуль числителя: $x = 0$.
Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Отметим точки $0$ и $1$ на числовой оси. Поскольку неравенство строгое, обе точки выколотые. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знак дроби $\frac{x}{x-1}$ на каждом интервале:
- Если $x \in (1, \infty)$ (например, $x=2$), то $\frac{2}{2-1} = 2 > 0$. Знак «+».
- Если $x \in (0, 1)$ (например, $x=0.5$), то $\frac{0.5}{0.5-1} = -1 < 0$. Знак «-».
- Если $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$), то $\frac{-1}{-1-1} = 0.5 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение положительно (знак «+»). Это $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Объединив эти интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.