Номер 3.20, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.20, страница 25.

3.20. Решите неравенство $2^{\sqrt{x}} - 2^{1-\sqrt{x}} \le 1$.

Решим неравенство $2^{\sqrt{x}} - 2^{1-\sqrt{x}} \le 1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, следовательно:

$x \ge 0$

2. Преобразуем неравенство и введем замену

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем левую часть неравенства:

$2^{\sqrt{x}} - \frac{2^1}{2^{\sqrt{x}}} \le 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$. Таким образом, для новой переменной $t$ получаем ограничение $t \ge 1$.

После замены исходное неравенство принимает вид:

$t - \frac{2}{t} \le 1$

3. Решим полученное рациональное неравенство

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$t - \frac{2}{t} - 1 \le 0$

$\frac{t^2 - 2 - t}{t} \le 0$

$\frac{t^2 - t - 2}{t} \le 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $t^2 - t - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Теперь неравенство можно записать как:

$\frac{(t-2)(t+1)}{t} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $t=2$, $t=-1$. Нуль знаменателя: $t=0$.

Отмечаем эти точки на числовой оси и определяем знаки выражения на получившихся интервалах. Решением неравенства будет объединение промежутков $t \in (-\infty, -1] \cup (0, 2]$.

4. Выполним обратную замену и найдем решение для $x$

Теперь учтем ограничение $t \ge 1$. Найдем пересечение решения $t \in (-\infty, -1] \cup (0, 2]$ и условия $t \ge 1$. Получаем:

$1 \le t \le 2$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $2^{\sqrt{x}}$ вместо $t$:

$1 \le 2^{\sqrt{x}} \le 2$

Представим 1 и 2 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 \le 2^{\sqrt{x}} \le 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки неравенства:

$0 \le \sqrt{x} \le 1$

Поскольку все части этого двойного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$

$0 \le x \le 1$

Полученное решение $x \in [0, 1]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [0, 1]$.