Номер 3.26, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.26, страница 26.

3.26. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}}}$.

Область определения функции $y = \sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}}}$ находится из условий, при которых все операции в выражении корректны. Это приводит к системе неравенств.

1. Выражение под внешним (основным) квадратным корнем должно быть неотрицательным:$$ \frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}} \ge 0 $$2. Выражение под внутренним квадратным корнем, который находится в знаменателе, должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю):$$ 4x^2 - 19x + 12 > 0 $$

Рассмотрим первое неравенство. Знаменатель $\sqrt{4x^2 - 19x + 12}$ является квадратным корнем, поэтому он всегда положителен, если определён (что гарантируется вторым неравенством). Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, первое неравенство сводится к:$$ 7 - x \ge 0 $$

Итак, для нахождения области определения функции необходимо решить систему двух неравенств:$$ \begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ 4x^2 - 19x + 12 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:$$ 7 - x \ge 0 $$$$ -x \ge -7 $$$$ x \le 7 $$Решением является промежуток $x \in (-\infty; 7]$.

Решим второе неравенство:$$ 4x^2 - 19x + 12 > 0 $$Для этого найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 19x + 12 = 0$ с помощью дискриминанта.$$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 - 192 = 169 = 13^2 $$Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 $$Графиком функции $y = 4x^2 - 19x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=4>0$). Следовательно, неравенство $4x^2 - 19x + 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 7]$ и $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)$.Совмещая эти условия на числовой оси, получаем:$$ ((-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)) \cap (-\infty; 7] = (-\infty; 3/4) \cup (4; 7] $$Это и есть область определения исходной функции.
Ответ: $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; 7]$.