Номер 3.24, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.24, страница 25.

3.24. Упростите выражение

$\left(\left(\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^3 + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}\right) : (3a^2 + 3b\sqrt{ab}) + \frac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в первых больших скобках.

Сначала преобразуем дробь $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, используя формулу разности квадратов $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:

$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Теперь подставим полученный результат в выражение в больших скобках:

$\left( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} \right)$

Раскроем куб разности по формуле $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a})^3 - 3(\sqrt{a})^2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b}$

Подставим раскрытый куб обратно в скобки и приведем подобные слагаемые:

$(a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b}) + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$

$= (a\sqrt{a} + 2a\sqrt{a}) + 3b\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + (-b\sqrt{b} + b\sqrt{b})$

$= 3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a}$

2. Выполним деление.

Разделим результат первого действия на выражение $(3a^2 + 3b\sqrt{ab})$:

$\frac{3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a}}{3a^2 + 3b\sqrt{ab}}$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе вынесем $3\sqrt{a}$, в знаменателе также вынесем $3\sqrt{a}$:

Числитель: $3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} = 3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b)$.

Знаменатель: $3a^2 + 3b\sqrt{ab} = 3(a^2 + b\sqrt{a}\sqrt{b}) = 3\sqrt{a}(a\sqrt{a} + b\sqrt{b})$.

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b)}{3\sqrt{a}(a\sqrt{a} + b\sqrt{b})} = \frac{a - \sqrt{ab} + b}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$

Знаменатель $a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$ является суммой кубов: $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$. Разложим его по формуле $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)$

Подставим это разложение в дробь и сократим:

$\frac{a - \sqrt{ab} + b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

3. Упростим второе слагаемое.

Преобразуем дробь $\frac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}$:

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

Числитель: $\sqrt{ab}-a = \sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a}(\sqrt{b}-\sqrt{a}) = -\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Знаменатель: $a\sqrt{a}-b\sqrt{a} = \sqrt{a}(a-b) = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{-\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

4. Найдем сумму результатов.

Сложим результаты, полученные во втором и третьем действиях:

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = 0$

Ответ: $0$