Номер 3.18, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.18, страница 25.

3.18. Найдите множество решений неравенства:

1) $3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 8 > 0;$

2) $2^{x+3} + 2^{1-x} < 17;$

3) $6^{x+2} + 6^{-x} - 37 \ge 0;$

4) $(\frac{3}{5})^{x+1} + (\frac{3}{5})^{1-x} \le \frac{6}{5}.$

1) Исходное неравенство: $3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 8 > 0$.
Преобразуем его, используя свойство степеней $a^{-n} = 1/a^n$: $3^x - 9 \cdot \frac{1}{3^x} - 8 > 0$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Неравенство принимает вид: $t - \frac{9}{t} - 8 > 0$.
Умножим обе части на $t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не меняется: $t^2 - 9 - 8t > 0$.
Перепишем в стандартном виде: $t^2 - 8t - 9 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 8t - 9 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 9$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $(t+1)(t-9) > 0$.
Решением этого неравенства являются интервалы $t < -1$ и $t > 9$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем, что $t > 9$.
Вернемся к исходной переменной: $3^x > 9$.
Так как $9 = 3^2$, имеем $3^x > 3^2$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, следовательно $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $2^{x+3} + 2^{1-x} < 17$.
Преобразуем его, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$: $2^x \cdot 2^3 + 2^1 \cdot 2^{-x} < 17$.
$8 \cdot 2^x + \frac{2}{2^x} < 17$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $t = 2^x > 0$, получаем $t>0$.
Неравенство принимает вид: $8t + \frac{2}{t} < 17$.
Умножим обе части на $t > 0$: $8t^2 + 2 < 17t$.
Перенесем все члены в левую часть: $8t^2 - 17t + 2 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни: $t_1 = \frac{17 - 15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ и $t_2 = \frac{17 + 15}{16} = \frac{32}{16} = 2$.
Так как ветви параболы $y = 8t^2 - 17t + 2$ направлены вверх, неравенство $8t^2 - 17t + 2 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{8} < t < 2$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной: $\frac{1}{8} < 2^x < 2$.
Представим границы в виде степеней двойки: $2^{-3} < 2^x < 2^1$.
Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому $-3 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-3, 1)$.

3) Исходное неравенство: $6^{x+2} + 6^{-x} - 37 \geq 0$.
Преобразуем его: $6^x \cdot 6^2 + \frac{1}{6^x} - 37 \geq 0$.
$36 \cdot 6^x + \frac{1}{6^x} - 37 \geq 0$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид: $36t + \frac{1}{t} - 37 \geq 0$.
Умножим на $t > 0$: $36t^2 + 1 - 37t \geq 0$.
Перепишем в стандартном виде: $36t^2 - 37t + 1 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $36t^2 - 37t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$.
Корни: $t_1 = \frac{37 - 35}{72} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$ и $t_2 = \frac{37 + 35}{72} = \frac{72}{72} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $36t^2 - 37t + 1 \geq 0$ выполняется при $t \leq \frac{1}{36}$ или $t \geq 1$.
Учитывая $t > 0$, получаем $0 < t \leq \frac{1}{36}$ или $t \geq 1$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $6^x \leq \frac{1}{36} \implies 6^x \leq 6^{-2}$. Так как основание $6 > 1$, то $x \leq -2$.
2) $6^x \geq 1 \implies 6^x \geq 6^0$. Так как основание $6 > 1$, то $x \geq 0$.
Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(\frac{3}{5})^{x+1} + (\frac{3}{5})^{1-x} \leq \frac{6}{5}$.
Преобразуем его, используя свойства степеней: $\frac{3}{5} \cdot (\frac{3}{5})^x + \frac{3}{5} \cdot (\frac{3}{5})^{-x} \leq \frac{6}{5}$.
$\frac{3}{5} \cdot (\frac{3}{5})^x + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{(\frac{3}{5})^x} \leq \frac{6}{5}$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{5})^x$. Так как $t = (\frac{3}{5})^x > 0$, то $t>0$.
Неравенство принимает вид: $\frac{3}{5}t + \frac{3}{5t} \leq \frac{6}{5}$.
Умножим обе части на $\frac{5}{3}$: $t + \frac{1}{t} \leq 2$.
Умножим на $t > 0$: $t^2 + 1 \leq 2t$.
Перенесем все в левую часть: $t^2 - 2t + 1 \leq 0$.
Свернем по формуле квадрата разности: $(t-1)^2 \leq 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(t-1)^2 \geq 0$.
Следовательно, неравенство $(t-1)^2 \leq 0$ выполняется только в одном случае, когда $(t-1)^2 = 0$.
Отсюда $t - 1 = 0$, то есть $t=1$.
Вернемся к исходной переменной: $(\frac{3}{5})^x = 1$.
Так как $1 = (\frac{3}{5})^0$, имеем $(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^0$.
Отсюда $x=0$.
Ответ: $x=0$.