Номер 3.16, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.16, страница 25.

3.16. Решите неравенство:

1) $2^{3x+1} + 0.25^{\frac{1-3x}{2}} - 4^{\frac{3x}{2}} > 192;$

2) $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$.

1) Решим неравенство $2^{3x+1} + 0.25^{\frac{1-3x}{2}} - 4^{\frac{3x}{2}} > 192$.
Для начала приведем все степени к одному основанию, в данном случае к 2.
$0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$.
$4 = 2^2$.
Преобразуем второе и третье слагаемые в левой части неравенства:
$0.25^{\frac{1-3x}{2}} = (2^{-2})^{\frac{1-3x}{2}} = 2^{-2 \cdot \frac{1-3x}{2}} = 2^{-(1-3x)} = 2^{3x-1}$.
$4^{\frac{3x}{2}} = (2^2)^{\frac{3x}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3x}{2}} = 2^{3x}$.
Также преобразуем первое слагаемое: $2^{3x+1} = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2 \cdot 2^{3x}$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:
$2 \cdot 2^{3x} + 2^{3x-1} - 2^{3x} > 192$.
$2 \cdot 2^{3x} + \frac{1}{2} \cdot 2^{3x} - 2^{3x} > 192$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{3x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
$2y + \frac{1}{2}y - y > 192$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2 + \frac{1}{2} - 1)y > 192$
$\frac{3}{2}y > 192$
$y > 192 \cdot \frac{2}{3}$
$y > 64 \cdot 2$
$y > 128$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$2^{3x} > 128$.
Представим 128 как степень двойки: $128 = 2^7$.
$2^{3x} > 2^7$.
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$3x > 7$
$x > \frac{7}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$.
Вынесем в левой и правой частях за скобки степени с наименьшим показателем.
В левой части наименьший показатель — это $2x-5$. Вынесем за скобки $2^{2x-5}$:
$2^{2x-5}(2^{(2x-1)-(2x-5)} + 2^{(2x-3)-(2x-5)} - 2^{(2x-5)-(2x-5)}) > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$
$2^{2x-5}(2^4 + 2^2 - 2^0) > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$
$2^{2x-5}(16 + 4 - 1) > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$
$19 \cdot 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$.
В правой части наименьший показатель — это $3-x$. Вынесем за скобки $2^{3-x}$:
$19 \cdot 2^{2x-5} > 2^{3-x}(2^{(7-x)-(3-x)} + 2^{(5-x)-(3-x)} - 2^{(3-x)-(3-x)})$
$19 \cdot 2^{2x-5} > 2^{3-x}(2^4 + 2^2 - 2^0)$
$19 \cdot 2^{2x-5} > 2^{3-x}(16 + 4 - 1)$
$19 \cdot 2^{2x-5} > 19 \cdot 2^{3-x}$.
Разделим обе части неравенства на 19 (поскольку 19 > 0, знак неравенства не меняется):
$2^{2x-5} > 2^{3-x}$.
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2x - 5 > 3 - x$.
Решим полученное линейное неравенство:
$2x + x > 3 + 5$
$3x > 8$
$x > \frac{8}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{8}{3}; +\infty)$.