Номер 3.15, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.15, страница 25.

3.15. Решите неравенство:

1) $\frac{16 - 4^x}{9x^2 + 12x + 4} \geq 0;$

2) $\frac{5^x - 0,04}{5 - x} \geq 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{16 - 4^x}{9x^2 + 12x + 4} \ge 0 $.

Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $ 9x^2 + 12x + 4 $. Это выражение является полным квадратом, так как $ 9x^2 = (3x)^2 $, $ 4 = 2^2 $ и $ 12x = 2 \cdot (3x) \cdot 2 $.

Таким образом, $ 9x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2 $.

Неравенство можно переписать в виде:

$ \frac{16 - 4^x}{(3x+2)^2} \ge 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$ (3x+2)^2 \ne 0 $

$ 3x+2 \ne 0 $

$ x \ne -\frac{2}{3} $

Поскольку выражение $ (3x+2)^2 $ является квадратом, оно всегда неотрицательно. В области допустимых значений ($ x \ne -\frac{2}{3} $) знаменатель всегда строго положителен: $ (3x+2)^2 > 0 $.

Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 16 - 4^x \ge 0 \\ x \ne -\frac{2}{3} \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 16 - 4^x \ge 0 $

$ 16 \ge 4^x $

Представим 16 как степень с основанием 4:

$ 4^2 \ge 4^x $

Так как основание степени $ a=4 > 1 $, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$ 2 \ge x $, или $ x \le 2 $.

Теперь объединим полученное решение с условием из ОДЗ: $ x \ne -\frac{2}{3} $.

Число $ -\frac{2}{3} $ входит в промежуток $ (-\infty, 2] $, поэтому его необходимо исключить.

В результате получаем объединение двух промежутков: $ (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}, 2] $.

Ответ: $ x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}, 2] $.

2) Решим неравенство $ \frac{5^x - 0,04}{5 - x} \ge 0 $.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Найдем нуль числителя:

$ 5^x - 0,04 = 0 $

$ 5^x = 0,04 $

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, а затем в степень с основанием 5:

$ 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} $

Получаем уравнение:

$ 5^x = 5^{-2} $

$ x = -2 $

Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), точка $ x = -2 $ будет входить в решение.

Найдем нуль знаменателя:

$ 5 - x = 0 $

$ x = 5 $

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому точка $ x=5 $ исключается из решения.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знаки выражения $ f(x) = \frac{5^x - 0,04}{5 - x} $ на каждом из полученных интервалов.

Интервалы: $ (-\infty, -2) $, $ (-2, 5) $, $ (5, \infty) $.

• При $ x > 5 $ (например, $ x=6 $): числитель $ 5^6 - 0,04 > 0 $, знаменатель $ 5 - 6 < 0 $. Знак дроби $ \frac{+}{-} = - $.
• При $ -2 < x < 5 $ (например, $ x=0 $): числитель $ 5^0 - 0,04 = 1 - 0,04 > 0 $, знаменатель $ 5 - 0 > 0 $. Знак дроби $ \frac{+}{+} = + $.
• При $ x < -2 $ (например, $ x=-3 $): числитель $ 5^{-3} - 0,04 = \frac{1}{125} - 0,04 < 0 $, знаменатель $ 5 - (-3) > 0 $. Знак дроби $ \frac{-}{+} = - $.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервал $ (-2, 5) $, включая точку $ x=-2 $.

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $ [-2, 5) $.

Ответ: $ x \in [-2, 5) $.