Номер 3.9, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.9, страница 24.

3.9. Решите неравенство:

1) $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x^2 - x} < \frac{9}{49}; $

2) $ 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}; $

3) $ 0,3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 1; $

4) $ \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right)^{x-1} > 9^{-0,5}. $

1) $(\frac{3}{7})^{x^2-x} < \frac{9}{49}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{3}{7}$:
$\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

Получаем неравенство:
$(\frac{3}{7})^{x^2-x} < (\frac{3}{7})^2$.

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x > 2$.

Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное неравенство:
$x^2 - x - 2 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 2 > 0$ выполняется при $x$, находящихся за пределами корней.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \le (\frac{1}{8})^{-3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 2:
$4 = 2^2$;
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$;
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:
$2^2 \cdot (2^{-1})^{5x^2} \le (2^{-3})^{-3x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \le 2^{9x}$.

Используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$2^{2-5x^2} \le 2^{9x}$.

Так как основание степени $a = 2$ и $a > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \le 9x$.

Перенесем все члены в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \le 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $5x^2 + 9x - 2 \ge 0$ выполняется при $x$, находящихся на корнях или за их пределами.

Следовательно, $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.

3) $0.3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3:
$1 = 0.3^0$.

Неравенство принимает вид:
$0.3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 0.3^0$.

Так как основание степени $a = 0.3$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4}{x-1} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для показателя: знаменатель не равен нулю, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} < 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=2$, $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=1$.
Отметим точки -2, 1, 2 на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

Выражение $\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}$ отрицательно на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(1; 2)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2)$.

4) $(\text{tg}\frac{\pi}{3})^{x-1} > 9^{-0.5}$

Вычислим значения оснований:
$\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$9^{-0.5} = 9^{-1/2} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Неравенство принимает вид:
$(\sqrt{3})^{x-1} > \frac{1}{3}$.

Приведем обе части к основанию 3:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$;
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим в неравенство:
$(3^{1/2})^{x-1} > 3^{-1}$.

Упростим левую часть:
$3^{\frac{x-1}{2}} > 3^{-1}$.

Так как основание степени $a = 3$ и $a > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-1}{2} > -1$.

Умножим обе части на 2:
$x - 1 > -2$.

Прибавим 1 к обеим частям:
$x > -1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$.