Номер 3.2, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.2, страница 23.

3.2. Решите неравенство:

1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$;

2) $5^x < \frac{1}{5}$;

3) $11^{x-5} < 11^{3x+1}$;

4) $0{,}4^{6x+1} \ge 0{,}4^{2x+5}$;

5) $2^{x^2-1} < 8$;

6) $27^{2x+1} > (\frac{1}{9})^{x+2}$;

7) $0{,}3^{4x-8} > 1$;

8) $0{,}1^{3x-1} < 1000$;

9) $(\frac{1}{36})^{2-x} < 216^{x+1}$.

1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{2}$, зная, что $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$

Поскольку основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

2) $5^x < \frac{1}{5}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$5^x < 5^{-1}$

Так как основание $a = 5$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$x < -1$

Ответ: $(-\infty; -1)$.

3) $11^{x-5} < 11^{3x+1}$

Основания степеней в обеих частях неравенства одинаковы и равны 11. Так как $11 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак.

$x-5 < 3x+1$

$x - 3x < 1 + 5$

$-2x < 6$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -3$

Ответ: $(-3; +\infty)$.

4) $0,4^{6x+1} \ge 0,4^{2x+5}$

Основания степеней равны $0,4$. Поскольку $0 < 0,4 < 1$, при переходе к неравенству для показателей знак $\ge$ меняется на $\le$.

$6x+1 \le 2x+5$

$6x - 2x \le 5 - 1$

$4x \le 4$

$x \le 1$

Ответ: $(-\infty; 1]$.

5) $2^{x^2-1} < 8$

Приведем правую часть к основанию 2: $8 = 2^3$.

$2^{x^2-1} < 2^3$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей.

$x^2-1 < 3$

$x^2 - 4 < 0$

$(x-2)(x+2) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

$-2 < x < 2$

Ответ: $(-2; 2)$.

6) $27^{2x+1} > (\frac{1}{9})^{x+2}$

Приведем обе части неравенства к общему основанию 3. $27 = 3^3$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.

$(3^3)^{2x+1} > (3^{-2})^{x+2}$

$3^{3(2x+1)} > 3^{-2(x+2)}$

$3^{6x+3} > 3^{-2x-4}$

Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$6x+3 > -2x-4$

$6x+2x > -4-3$

$8x > -7$

$x > -\frac{7}{8}$

Ответ: $(-\frac{7}{8}; +\infty)$.

7) $0,3^{4x-8} > 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{4x-8} > 0,3^0$

Основание $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$4x-8 < 0$

$4x < 8$

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

8) $0,1^{3x-1} < 1000$

Приведем обе части к общему основанию 10. $0,1 = 10^{-1}$ и $1000 = 10^3$.

$(10^{-1})^{3x-1} < 10^3$

$10^{-(3x-1)} < 10^3$

$10^{-3x+1} < 10^3$

Основание $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$-3x+1 < 3$

$-3x < 2$

$x > -\frac{2}{3}$

Ответ: $(-\frac{2}{3}; +\infty)$.

9) $(\frac{1}{36})^{2-x} < 216^{x+1}$

Приведем обе части к общему основанию 6. $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$ и $216 = 6^3$.

$(6^{-2})^{2-x} < (6^3)^{x+1}$

$6^{-2(2-x)} < 6^{3(x+1)}$

$6^{-4+2x} < 6^{3x+3}$

Основание $6 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей.

$-4+2x < 3x+3$

$2x-3x < 3+4$

$-x < 7$

$x > -7$

Ответ: $(-7; +\infty)$.