Номер 3.1, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.1, страница 23.
№3.1 (с. 23)
Учебник. №3.1 (с. 23)
скриншот условия

3.1. Равносильны ли неравенства:
1) $7^{2x+4} > 7^{x-1}$ и $2x+4 > x-1$;
2) $0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2}$ и $x^2-4 < x+2$;
3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$;
4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$?
Решение. №3.1 (с. 23)

Решение 2. №3.1 (с. 23)
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, найдем множества решений для каждого неравенства и сравним их.
1) $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$ и $2x + 4 > x - 1$
Рассмотрим первое неравенство: $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$.
Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:
$2x + 4 > x - 1$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$2x - x > -1 - 4$
$x > -5$
Множество решений первого неравенства: $x \in (-5; +\infty)$.
Второе неравенство в паре — это $2x + 4 > x - 1$. Мы его уже решили, и его множество решений также $x \in (-5; +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.
Ответ: да, равносильны.
2) $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$ и $x^2 - 4 < x + 2$
Рассмотрим первое неравенство: $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$.
Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 0,9$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,9^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 4 > x + 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 6 > 0$
Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 4 < x + 2$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 6 < 0$
Корни соответствующего уравнения те же: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-2; 3)$.
Множества решений $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ и $(-2; 3)$ не совпадают.
Ответ: нет, не равносильны.
3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$
Рассмотрим первое неравенство: $a^x > a^5$.
По условию, основание степени $a > 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство $a^x > a^5$ равносильно неравенству $x > 5$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (5; +\infty)$.
Второе неравенство: $x > 5$. Его множество решений также $x \in (5; +\infty)$.
Множества решений совпадают.
Ответ: да, равносильны.
4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$
Рассмотрим первое неравенство: $a^x < a^{-3}$.
По условию, основание степени $0 < a < 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -3$
Множество решений первого неравенства: $x \in (-3; +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство: $x < -3$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty; -3)$.
Множества решений $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; -3)$ не совпадают.
Ответ: нет, не равносильны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.1 расположенного на странице 23 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.1 (с. 23), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.