Номер 3.1, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.1, страница 23.

Учебник.

3.1. Равносильны ли неравенства:

1) $7^{2x+4} > 7^{x-1}$ и $2x+4 > x-1$;

2) $0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2}$ и $x^2-4 < x+2$;

3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$;

4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$?

Решение.

Решение 2.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, найдем множества решений для каждого неравенства и сравним их.

1) $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$ и $2x + 4 > x - 1$

Рассмотрим первое неравенство: $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:

$2x + 4 > x - 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - x > -1 - 4$

$x > -5$

Множество решений первого неравенства: $x \in (-5; +\infty)$.

Второе неравенство в паре — это $2x + 4 > x - 1$. Мы его уже решили, и его множество решений также $x \in (-5; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$ и $x^2 - 4 < x + 2$

Рассмотрим первое неравенство: $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 0,9$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,9^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4 > x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 > 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 4 < x + 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 < 0$

Корни соответствующего уравнения те же: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-2; 3)$.

Множества решений $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ и $(-2; 3)$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$

Рассмотрим первое неравенство: $a^x > a^5$.

По условию, основание степени $a > 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство $a^x > a^5$ равносильно неравенству $x > 5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (5; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > 5$. Его множество решений также $x \in (5; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$

Рассмотрим первое неравенство: $a^x < a^{-3}$.

По условию, основание степени $0 < a < 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -3$

Множество решений первого неравенства: $x \in (-3; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $x < -3$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty; -3)$.

Множества решений $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; -3)$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.