Номер 2.21, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 2. Показательные уравнения. Готовимся к изучению новой темы - номер 2.21, страница 21.

Учебник.

2.21. Какие из следующих неравенств верны:

1) $0,2^4 > 0,2^5;$

2) $0,2^4 > 0,2^3;$

3) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}};$

4) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}?$

Решение.

Решение 2.

1) $0.2^4 > 0.2^5$
Для решения этого неравенства рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 0.2$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = 0.2^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $4$ и $5$. Поскольку $4 < 5$, для убывающей функции должно выполняться обратное неравенство для значений функции: $0.2^4 > 0.2^5$. Таким образом, данное неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

2) $0.2^4 > 0.2^3$
Здесь основание также $a = 0.2$, и функция $y = 0.2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $4$ и $3$. Поскольку $4 > 3$, для убывающей функции должно выполняться неравенство $0.2^4 < 0.2^3$. В условии же дано $0.2^4 > 0.2^3$, что противоречит свойству убывающей показательной функции. Следовательно, данное неравенство неверно.
Ответ: неравенство неверно.

3) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}}$
В этом случае основание $a = 4$. Так как $a > 1$, функция $y = 4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$, то и $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$ следует, что $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{6}}$. Таким образом, данное неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

4) $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}$
Здесь основание также $a = 4$, и функция $y = 4^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Очевидно, что $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ должно следовать, что $4^{\frac{1}{3}} < 4^{\frac{2}{3}}$. В условии же дано $4^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{2}{3}}$, что противоречит свойству возрастающей показательной функции. Следовательно, данное неравенство неверно.
Ответ: неравенство неверно.

Итак, верными являются неравенства 1 и 3.