Номер 2.18, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.18, страница 20.

2.18. Решите уравнение:

1) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0;$

2) $5 \cdot 2^{x+2} \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}};$

1) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$ и $12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$.

Перепишем уравнение в виде:

$4 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot (4^x)^2 = 0$

Поскольку $16^x = (4^x)^2$ всегда больше нуля ($16^x > 0$ при любом $x$), мы можем разделить обе части уравнения на $16^x$:

$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция с положительным основанием всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного:

$4t^2 - 7t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $t = \frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. При $t = 1$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^0$

$x_2 = 0$

Ответ: $0; 1$.

2) $5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}$

Это также показательное уравнение, которое можно свести к однородному. Представим члены уравнения через степени с показателем $\frac{x}{2}$:

$2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$

$5^x = (5^{\frac{x}{2}})^2$

$10^{\frac{x}{2}} = (2 \cdot 5)^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 + 2 \cdot (5^{\frac{x}{2}})^2 = 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 - 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{x}{2}})^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $(5^{\frac{x}{2}})^2 = 5^x$, что всегда больше нуля:

$5 \cdot \frac{(2^{\frac{x}{2}})^2}{(5^{\frac{x}{2}})^2} - 7 \cdot \frac{2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}}{(5^{\frac{x}{2}})^2} + 2 \cdot \frac{(5^{\frac{x}{2}})^2}{(5^{\frac{x}{2}})^2} = 0$

$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}$. Условие $t>0$ выполняется. Уравнение становится квадратным:

$5t^2 - 7t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену.

1. При $t = \frac{2}{5}$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{5}$

$\frac{x}{2} = 1 \implies x_1 = 2$

2. При $t = 1$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^0$

$\frac{x}{2} = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $0; 2$.