Вопрос, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - страница 23.

Какую теорему и какое следствие из неё используют при решении показательных неравенств?

При решении показательных неравенств ключевым является свойство монотонности показательной функции. Это свойство описывается следующей теоремой и приводит к важному следствию, которое является практическим правилом решения.

Теорема о монотонности показательной функции

Показательная функция $y = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является строго монотонной на всей своей области определения (на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$).

• Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $a^{x_2} > a^{x_1}$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $a^{x_2} < a^{x_1}$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следствие (правило решения показательных неравенств)

Из теоремы о монотонности напрямую следует метод решения простейших показательных неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$). Этот метод заключается в равносильном переходе от неравенства, содержащего степени, к неравенству для показателей этих степеней.

1. Если основание $a > 1$ (функция возрастает), то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

   $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$

2. Если основание $0 < a < 1$ (функция убывает), то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

   $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$

Это правило является фундаментальным для решения любых показательных неравенств, так как их решение, как правило, сводится к одному из этих двух случаев после преобразований.

Ответ: При решении показательных неравенств используют теорему о строгой монотонности показательной функции. Следствием из неё является правило равносильного перехода от неравенства для степеней к неравенству для их показателей: если основание степени $a > 1$, знак неравенства сохраняется; если $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный.