Номер 3.6, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.6, страница 24.

3.6. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$;

2) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} - 27}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0$

Перенесем показательный член в правую часть неравенства:

$1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$

Получаем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^0 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$0 \leq x$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные 0.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} - 27}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя, а извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах невозможно).

Составим и решим неравенство:

$3^{x+2} - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть неравенства:

$3^{x+2} > 27$

Представим 27 в виде степени с основанием 3:

$27 = 3^3$

Получаем неравенство:

$3^{x+2} > 3^3$

Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x + 2 > 3$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 3 - 2$

$x > 1$

Следовательно, область определения функции — это все числа $x$, строго большие 1.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.