Номер 3.12, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.12, страница 24.

3.12. Решите неравенство:

1) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 > 0;$

2) $4^x + 2^{x+3} - 20 < 0;$

3) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0;$

4) $0.25^x - 12 \cdot 0.5^x + 32 \ge 0;$

5) $6^{2x-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0;$

6) $25^x + 5^x - 30 \ge 0.$

1) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 > 0$

Запишем неравенство в виде $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 45 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 4t - 45 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t - 45 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{4 - 14}{2} = -5$ и $t_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9$.

Решением неравенства $t^2 - 4t - 45 > 0$ является объединение промежутков $(-\infty; -5) \cup (9; +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что подходит только $t > 9$.

Выполним обратную замену: $3^x > 9$.

Так как $9 = 3^2$, то $3^x > 3^2$. Поскольку основание степени $3 > 1$, то $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

2) $4^x + 2^{x+3} - 20 < 0$

Преобразуем неравенство: $(2^2)^x + 2^x \cdot 2^3 - 20 < 0$, что равносильно $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 + 8t - 20 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$. Корни: $t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Решением неравенства $t^2 + 8t - 20 < 0$ является интервал $(-10; 2)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 2$.

Выполним обратную замену: $2^x < 2$.

Так как $2 = 2^1$, то $2^x < 2^1$. Поскольку основание степени $2 > 1$, то $x < 1$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

3) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$

Перепишем неравенство: $(7^2)^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$, то есть $(7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$.

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 - 8t + 7 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 8t + 7 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 7$.

Решением неравенства $t^2 - 8t + 7 \le 0$ является отрезок $[1; 7]$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $1 \le 7^x \le 7$.

Запишем в виде $7^0 \le 7^x \le 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $0 \le x \le 1$.

Ответ: $[0; 1]$.

4) $0,25^x - 12 \cdot 0,5^x + 32 \ge 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$. Неравенство принимает вид $(0,5^{x})^2 - 12 \cdot 0,5^x + 32 \ge 0$.

Пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 12t + 32 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = 8$.

Решением неравенства $t^2 - 12t + 32 \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty; 4] \cup [8; +\infty)$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t \le 4$ или $t \ge 8$.

Выполним обратную замену: $0,5^x \le 4$ или $0,5^x \ge 8$.

Решим первое неравенство: $(1/2)^x \le 2^2 \implies 2^{-x} \le 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \le 2$, откуда $x \ge -2$.

Решим второе неравенство: $(1/2)^x \ge 2^3 \implies 2^{-x} \ge 2^3$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \ge 3$, откуда $x \le -3$.

Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

5) $6^{2x-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0$

Преобразуем неравенство: $6^{2x} \cdot 6^{-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0 \implies \frac{1}{6}(6^x)^2 - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0$.

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: $(6^x)^2 - 2 \cdot 6^x - 24 \le 0$.

Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 - 2t - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$. Корни: $t_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4$ и $t_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6$.

Решением неравенства $t^2 - 2t - 24 \le 0$ является отрезок $[-4; 6]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 6$.

Выполним обратную замену: $6^x \le 6$.

Так как $6 = 6^1$, то $6^x \le 6^1$. Поскольку основание $6 > 1$, то $x \le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

6) $25^x + 5^x - 30 \ge 0$

Перепишем неравенство в виде $(5^x)^2 + 5^x - 30 \ge 0$.

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 + t - 30 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 30 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $t_1 = \frac{-1 - 11}{2} = -6$ и $t_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5$.

Решением неравенства $t^2 + t - 30 \ge 0$ является $(-\infty; -6] \cup [5; +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, подходит только $t \ge 5$.

Выполним обратную замену: $5^x \ge 5$.

Так как $5 = 5^1$, то $5^x \ge 5^1$. Поскольку основание $5 > 1$, то $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.