Номер 3.8, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.8, страница 24.

3.8. Решите неравенство:

1) $\left(\frac{1}{4}\right)^{6x - x^2} > \left(\frac{1}{4}\right)^5;$

2) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \ge \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x};$

3) $0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 1;$

4) $\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)^{x-0,5} > \sqrt{2};$

5) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}-3} \le \frac{9}{4};$

6) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge 0,25^{2x}.$

1) $(\frac{1}{4})^{6x - x^2} > (\frac{1}{4})^5$

Основание степени $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Так как показательная функция с таким основанием является убывающей, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$6x - x^2 < 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

2) $125 \cdot (\frac{1}{5})^{3x^2} \ge (\frac{1}{25})^{-4x}$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к 5.

$125 = 5^3$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^3 \cdot (5^{-1})^{3x^2} \ge (5^{-2})^{-4x}$

Упростим, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^3 \cdot 5^{-3x^2} \ge 5^{8x}$

$5^{3 - 3x^2} \ge 5^{8x}$

Основание степени $a = 5$ больше 1. Так как показательная функция с таким основанием является возрастающей, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$3 - 3x^2 \ge 8x$

$3x^2 + 8x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 8x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 8x - 3 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

$x \in [-3, \frac{1}{3}]$

Ответ: $[-3, \frac{1}{3}]$

3) $0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,6: $1 = 0,6^0$.

$0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 0,6^0$

Основание степени $a = 0,6$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\frac{x+5}{x^2-9} > 0$

Разложим знаменатель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Неравенство примет вид:

$\frac{x+5}{(x-3)(x+3)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=-5$, $x=-3$, $x=3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из интервалов:

• При $x > 3$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$ (верно)
• При $-3 < x < 3$: $\frac{+}{(-)(+)} < 0$ (неверно)
• При $-5 < x < -3$: $\frac{+}{(-)(-)} > 0$ (верно)
• При $x < -5$: $\frac{-}{(-)(-)} < 0$ (неверно)

Объединяя интервалы, где неравенство верно, получаем решение:

$x \in (-5, -3) \cup (3, +\infty)$

Ответ: $(-5, -3) \cup (3, +\infty)$

4) $(\sin\frac{\pi}{6})^{x-0,5} > \sqrt{2}$

Сначала вычислим значение основания: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^{x-0,5} > \sqrt{2}$.

Приведем обе части к основанию 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5}$

Подставляем в неравенство:

$(2^{-1})^{x-0,5} > 2^{0,5}$

$2^{-(x-0,5)} > 2^{0,5}$

$2^{-x+0,5} > 2^{0,5}$

Основание $a=2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x+0,5 > 0,5$

$-x > 0$

$x < 0$

Ответ: $(-\infty, 0)$

5) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} \le \frac{9}{4}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{2}{3}$:

$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} \le (\frac{2}{3})^{-2}$

Основание $a = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\frac{4}{x}-3 \ge -2$

Область допустимых значений: $x \ne 0$.

Решаем неравенство:

$\frac{4}{x} - 1 \ge 0$

$\frac{4-x}{x} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=4$. Нули знаменателя: $x=0$.

• При $x > 4$: $\frac{-}{+} < 0$ (неверно)
• При $0 < x < 4$: $\frac{+}{+} > 0$ (верно). Так как неравенство нестрогое, $x=4$ включается в решение.
• При $x < 0$: $\frac{+}{-} < 0$ (неверно)

Решением является интервал $(0, 4]$.

Ответ: $(0, 4]$

6) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge 0,25^{2x}$

Приведем все части неравенства к основанию 0,5.

$4 = \frac{1}{0,25} = \frac{1}{0,5^2} = 0,5^{-2}$

$0,25 = 0,5^2$

Подставляем в неравенство:

$0,5^{-2} \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge (0,5^2)^{2x}$

Упрощаем, используя свойства степеней:

$0,5^{-2 + x^2 + 3x} \ge 0,5^{4x}$

Основание $a = 0,5$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x^2 + 3x - 2 \le 4x$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

$x \in [-1, 2]$

Ответ: $[-1, 2]$