Номер 3.10, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.10, страница 24.

3.10. Решите неравенство:

1) $7^{x+2} - 14 \cdot 7^x > 5$;

2) $9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36$;

3) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} > 56$;

4) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \ge 26$;

5) $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} \le 650$;

6) $\left(\frac{3}{4}\right)^x - \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} > \frac{3}{16}$.

1) Исходное неравенство: $7^{x+2} - 14 \cdot 7^x > 5$.
Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем член $7^{x+2}$ в $7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$.
Подставим это в неравенство: $49 \cdot 7^x - 14 \cdot 7^x > 5$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки в левой части: $(49 - 14) \cdot 7^x > 5$.
Выполним вычитание в скобках: $35 \cdot 7^x > 5$.
Разделим обе части неравенства на 35: $7^x > \frac{5}{35}$.
Сократим дробь: $7^x > \frac{1}{7}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $7^x > 7^{-1}$.
Так как основание степени $7 > 1$, функция $y=7^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $x > -1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36$.
Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем член $3^{x-1}$ в $\frac{3^x}{3}$.
Подставим это в неравенство: $9 \cdot \frac{3^x}{3} + 3^x < 36$.
Упростим первое слагаемое: $3 \cdot 3^x + 3^x < 36$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки: $(3 + 1) \cdot 3^x < 36$.
$4 \cdot 3^x < 36$.
Разделим обе части неравенства на 4: $3^x < 9$.
Представим 9 в виде степени с основанием 3: $3^x < 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Исходное неравенство: $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} > 56$.
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{x-2}$.
$2^x = 2^{x-2} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x-2}$.
$2^{x-1} = 2^{x-2} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{x-2}$.
Подставим преобразованные члены в неравенство: $4 \cdot 2^{x-2} + 2 \cdot 2^{x-2} + 1 \cdot 2^{x-2} > 56$.
Вынесем $2^{x-2}$ за скобки: $(4 + 2 + 1) \cdot 2^{x-2} > 56$.
$7 \cdot 2^{x-2} > 56$.
Разделим обе части на 7: $2^{x-2} > \frac{56}{7}$.
$2^{x-2} > 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $2^{x-2} > 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $x - 2 > 3$.
$x > 5$.
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(\frac{1}{5})^{x-1} + (\frac{1}{5})^{x+1} \geq 26$.
Преобразуем слагаемые, используя свойства степеней:
$(\frac{1}{5})^{x-1} = (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{-1} = (\frac{1}{5})^x \cdot 5$.
$(\frac{1}{5})^{x+1} = (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^1 = (\frac{1}{5})^x \cdot \frac{1}{5}$.
Подставим в неравенство: $5 \cdot (\frac{1}{5})^x + \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{5})^x$ за скобки: $(5 + \frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
$(\frac{25+1}{5}) \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
$\frac{26}{5} \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
Разделим обе части на $\frac{26}{5}$: $(\frac{1}{5})^x \geq 5$.
Представим 5 в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.
$(\frac{1}{5})^x \geq (\frac{1}{5})^{-1}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, функция $y=(\frac{1}{5})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный: $x \leq -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

5) Исходное неравенство: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} \leq 650$.
Преобразуем член $6^{x+3}$ как $6^x \cdot 6^3 = 216 \cdot 6^x$.
Подставим в неравенство: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot (216 \cdot 6^x) \leq 650$.
$2 \cdot 6^x + 648 \cdot 6^x \leq 650$.
Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки: $(2 + 648) \cdot 6^x \leq 650$.
$650 \cdot 6^x \leq 650$.
Разделим обе части на 650: $6^x \leq 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 6: $6^x \leq 6^0$.
Так как основание степени $6 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $x \leq 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{3}{4})^x - (\frac{3}{4})^{x+1} > \frac{3}{16}$.
Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{3}{4})^x$.
$(\frac{3}{4})^x - (\frac{3}{4})^x \cdot \frac{3}{4} > \frac{3}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x \cdot (1 - \frac{3}{4}) > \frac{3}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x \cdot \frac{1}{4} > \frac{3}{16}$.
Умножим обе части неравенства на 4: $(\frac{3}{4})^x > \frac{3 \cdot 4}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x > \frac{12}{16}$.
Сократим дробь в правой части: $(\frac{3}{4})^x > \frac{3}{4}$.
Можно записать как $(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^1$.
Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, функция $y=(\frac{3}{4})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.