Номер 3.11, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.11, страница 24.

3.11. Решите неравенство:

1) $3^{x+2} - 4 \cdot 3^x < 45;$

2) $(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3;$

3) $5^x + 5^{x-1} - 5^{x-2} > 145;$

4) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < 1\frac{2}{3}.$

1) $3^{x+2} - 4 \cdot 3^x < 45$
Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть неравенства:
$3^x \cdot 3^2 - 4 \cdot 3^x < 45$
$9 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^x < 45$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$(9 - 4) \cdot 3^x < 45$
$5 \cdot 3^x < 45$
Разделим обе части неравенства на 5:
$3^x < 9$
Представим 9 в виде степени с основанием 3:
$3^x < 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

2) $(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3$
Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и преобразуем левую часть неравенства:
$(\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3$
$(\frac{1}{2})^x \cdot 4 - (\frac{1}{2})^x \le 3$
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{2})^x$ за скобки:
$(4 - 1) \cdot (\frac{1}{2})^x \le 3$
$3 \cdot (\frac{1}{2})^x \le 3$
Разделим обе части неравенства на 3:
$(\frac{1}{2})^x \le 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:
$(\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^0$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$

3) $5^x + 5^{x-1} - 5^{x-2} > 145$
Преобразуем слагаемые в левой части, используя свойства степеней:
$5^x + 5^x \cdot 5^{-1} - 5^x \cdot 5^{-2} > 145$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(1 + 5^{-1} - 5^{-2}) > 145$
$5^x(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25}) > 145$
$5^x(\frac{25}{25} + \frac{5}{25} - \frac{1}{25}) > 145$
$5^x \cdot \frac{29}{25} > 145$
Разделим обе части на $\frac{29}{25}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{25}{29}$):
$5^x > 145 \cdot \frac{25}{29}$
$5^x > 5 \cdot 25$
$5^x > 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

4) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < 1\frac{2}{3}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < \frac{5}{3}$
Преобразуем левую часть, используя свойства степеней:
$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1} < \frac{5}{3}$
Вынесем общий множитель $(\frac{2}{3})^x$ за скобки:
$(\frac{2}{3})^x (1 + (\frac{2}{3})^{-1}) < \frac{5}{3}$
$(\frac{2}{3})^x (1 + \frac{3}{2}) < \frac{5}{3}$
$(\frac{2}{3})^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3}$
Разделим обе части на $\frac{5}{2}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{2}{5}$):
$(\frac{2}{3})^x < \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{3})^x < \frac{2}{3}$
Представим правую часть в виде степени:
$(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^1$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$