Номер 3.17, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.17, страница 25.

Учебник.

3.17. Решите неравенство:

1) $3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84;$

2) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 4^{2x - 2} \le 120.$

Решение.

Решение 2.

1) $3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}+3} > 84$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием, что знаменатель дроби в показателе степени не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:

$3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \cdot 3^3 > 84$

$3^{\frac{1}{x}} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 84$

Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{x}}$ за скобки:

$3^{\frac{1}{x}} (1 + 27) > 84$

$3^{\frac{1}{x}} \cdot 28 > 84$

Разделим обе части неравенства на 28:

$3^{\frac{1}{x}} > \frac{84}{28}$

$3^{\frac{1}{x}} > 3$

Поскольку $3 = 3^1$ и основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

$\frac{1 - x}{x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=0$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знаки дроби $\frac{1-x}{x}$ на каждом интервале. Неравенство $\frac{1-x}{x} > 0$ выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это происходит на интервале $(0, 1)$.

Полученное решение $x \in (0, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x \in (0, 1)$.

2) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} \le 120$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x$ — любое действительное число, так как показательная функция определена для любого действительного показателя.

Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $16=2^4$ и $4=2^2$. Удобно привести все к степени с основанием $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.

$16^x = 2^{4x}$

$2^{4x-1} = 2^{4x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{4x}$

$4^{2x-2} = (2^2)^{2x-2} = 2^{2(2x-2)} = 2^{4x-4} = 2^{4x} \cdot 2^{-4} = \frac{1}{16} \cdot 2^{4x}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^{4x}) + 7 \cdot (\frac{1}{16} \cdot 2^{4x}) \le 120$

Вынесем общий множитель $2^{4x}$ за скобки:

$2^{4x} \left(2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \le 120$

Вычислим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 16:

$2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16}{16} - \frac{3 \cdot 8}{16} + \frac{7}{16} = \frac{32 - 24 + 7}{16} = \frac{15}{16}$

Неравенство принимает вид:

$2^{4x} \cdot \frac{15}{16} \le 120$

Умножим обе части на $\frac{16}{15}$, чтобы выделить показательную функцию:

$2^{4x} \le 120 \cdot \frac{16}{15}$

$2^{4x} \le 8 \cdot 16$

$2^{4x} \le 128$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $128 = 2^7$.

$2^{4x} \le 2^7$

Так как основание степени $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$4x \le 7$

$x \le \frac{7}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{7}{4}]$.