Номер 3.17, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.17, страница 25.
№3.17 (с. 25)
Учебник. №3.17 (с. 25)
скриншот условия

3.17. Решите неравенство:
1) $3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84;$
2) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 4^{2x - 2} \le 120.$
Решение. №3.17 (с. 25)


Решение 2. №3.17 (с. 25)
1) $3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}+3} > 84$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием, что знаменатель дроби в показателе степени не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.
Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:
$3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \cdot 3^3 > 84$
$3^{\frac{1}{x}} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 84$
Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{x}}$ за скобки:
$3^{\frac{1}{x}} (1 + 27) > 84$
$3^{\frac{1}{x}} \cdot 28 > 84$
Разделим обе части неравенства на 28:
$3^{\frac{1}{x}} > \frac{84}{28}$
$3^{\frac{1}{x}} > 3$
Поскольку $3 = 3^1$ и основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{1}{x} > 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{x} - 1 > 0$
$\frac{1 - x}{x} > 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=0$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.
Определим знаки дроби $\frac{1-x}{x}$ на каждом интервале. Неравенство $\frac{1-x}{x} > 0$ выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это происходит на интервале $(0, 1)$.
Полученное решение $x \in (0, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x \in (0, 1)$.
2) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} \le 120$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x$ — любое действительное число, так как показательная функция определена для любого действительного показателя.
Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $16=2^4$ и $4=2^2$. Удобно привести все к степени с основанием $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.
$16^x = 2^{4x}$
$2^{4x-1} = 2^{4x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{4x}$
$4^{2x-2} = (2^2)^{2x-2} = 2^{2(2x-2)} = 2^{4x-4} = 2^{4x} \cdot 2^{-4} = \frac{1}{16} \cdot 2^{4x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^{4x}) + 7 \cdot (\frac{1}{16} \cdot 2^{4x}) \le 120$
Вынесем общий множитель $2^{4x}$ за скобки:
$2^{4x} \left(2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \le 120$
Вычислим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 16:
$2 - \frac{3}{2} + \frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16}{16} - \frac{3 \cdot 8}{16} + \frac{7}{16} = \frac{32 - 24 + 7}{16} = \frac{15}{16}$
Неравенство принимает вид:
$2^{4x} \cdot \frac{15}{16} \le 120$
Умножим обе части на $\frac{16}{15}$, чтобы выделить показательную функцию:
$2^{4x} \le 120 \cdot \frac{16}{15}$
$2^{4x} \le 8 \cdot 16$
$2^{4x} \le 128$
Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $128 = 2^7$.
$2^{4x} \le 2^7$
Так как основание степени $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:
$4x \le 7$
$x \le \frac{7}{4}$
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{7}{4}]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.17 расположенного на странице 25 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.17 (с. 25), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.