Номер 3.23, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.23, страница 25.

Учебник.

3.23. Решите неравенство:

1) $3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x < 0$

2) $2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0$

Решение.

Решение 2.

1) $3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x - 5 \cdot 36^x < 0$

Заметим, что основания степеней являются степенями чисел 4 и 9: $16 = 4^2$, $81 = 9^2$, а $36 = 4 \cdot 9$. Перепишем неравенство в виде:
$3 \cdot (4^2)^x + 2 \cdot (9^2)^x - 5 \cdot (4 \cdot 9)^x < 0$
$3 \cdot (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x + 2 \cdot (9^x)^2 < 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $9^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $(9^x)^2 = 81^x$, не меняя знака неравенства:
$3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} - 5 \cdot \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} + 2 \cdot \frac{(9^x)^2}{(9^x)^2} < 0$
$3 \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$3t^2 - 5t + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 - 5t + 2$ направлены вверх ($a=3>0$), неравенство $3t^2 - 5t + 2 < 0$ выполняется между корнями:
$\frac{2}{3} < t < 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{2}{3} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < 1$

Представим границы интервала в виде степеней с основанием $\frac{4}{9}$:
$1 = \left(\frac{4}{9}\right)^0$ и $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}$.
Неравенство принимает вид:
$\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < \left(\frac{4}{9}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{4}{9}$ меньше 1 ($0 < \frac{4}{9} < 1$), показательная функция $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{2} > x > 0$, что эквивалентно $0 < x < \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{2})$.

2) $2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x \neq 0$, так как $x$ находится в знаменателе показателя степени.

Заметим, что основания степеней $49$, $14$ и $4$ можно выразить через 7 и 2: $49 = 7^2$, $4 = 2^2$, $14 = 7 \cdot 2$. Перепишем неравенство:
$2 \cdot (7^2)^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot (7 \cdot 2)^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} \ge 0$
$2 \cdot (7^{\frac{1}{x}})^2 - 9 \cdot 7^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot (2^{\frac{1}{x}})^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $4^{\frac{1}{x}} = (2^{\frac{1}{x}})^2 > 0$ при $x \neq 0$, разделим обе части неравенства на $4^{\frac{1}{x}}$:
$2 \cdot \frac{(7^{\frac{1}{x}})^2}{(2^{\frac{1}{x}})^2} - 9 \cdot \frac{7^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{(2^{\frac{1}{x}})^2} + 7 \cdot \frac{(2^{\frac{1}{x}})^2}{(2^{\frac{1}{x}})^2} \ge 0$
$2 \cdot \left(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительно, $t > 0$. Получаем квадратное неравенство:
$2t^2 - 9t + 7 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 9t + 7 = 0$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$.
Корни: $t_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.

Ветви параболы $y = 2t^2 - 9t + 7$ направлены вверх ($a=2>0$), поэтому неравенство $2t^2 - 9t + 7 \ge 0$ выполняется при значениях $t$ не между корнями, то есть:
$t \le 1$ или $t \ge \frac{7}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:
1. $\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le 1$
2. $\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \frac{7}{2}$

Решим каждое неравенство.
1. $\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le 1 \implies \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le \left(\frac{7}{2}\right)^0$.
Так как основание $\frac{7}{2} > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{1}{x} \le 0$.
Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен (так как числитель 1 > 0), то есть $x < 0$.

2. $\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \frac{7}{2} \implies \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \left(\frac{7}{2}\right)^1$.
Основание $\frac{7}{2} > 1$, поэтому:
$\frac{1}{x} \ge 1 \implies \frac{1}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{1-x}{x} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Решение этого неравенства: $x \in (0, 1]$.

Объединяя решения обоих случаев ($x < 0$ и $0 < x \le 1$), получаем итоговое решение, которое также удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1]$.