Номер 3.19, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.19, страница 25.
№3.19 (с. 25)
Учебник. №3.19 (с. 25)
скриншот условия

3.19. Найдите множество решений неравенства:
1) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} > 7$;
2) $4^{1-x} - 0,5^{1-2x} \ge 1$.
Решение. №3.19 (с. 25)


Решение 2. №3.19 (с. 25)
1) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} > 7$
Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} > 7$
$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} > 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем неравенство относительно $t$:
$3t - \frac{6}{t} > 7$
Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, знак неравенства не изменится:
$3t^2 - 6 > 7t$
$3t^2 - 7t - 6 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 7t - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
Неравенство $3t^2 - 7t - 6 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t < -\frac{2}{3}$ или $t > 3$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 3$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$3^x > 3$
$3^x > 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 1$
Таким образом, множество решений неравенства - это интервал $(1, +\infty)$.
Ответ: $(1, +\infty)$.
2) $4^{1-x} - 0.5^{1-2x} \ge 1$
Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $4 = 2^2$ и $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$(2^2)^{1-x} - (2^{-1})^{1-2x} \ge 1$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2^{2(1-x)} - 2^{-1(1-2x)} \ge 1$
$2^{2-2x} - 2^{-1+2x} \ge 1$
$2^{2-2x} - 2^{2x-1} \ge 1$
Преобразуем слагаемые: $\frac{2^2}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2^1} \ge 1$
$\frac{4}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2} \ge 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.
Получаем неравенство относительно $t$:
$\frac{4}{t} - \frac{t}{2} \ge 1$
Умножим обе части неравенства на $2t$. Так как $t > 0$, то $2t > 0$, и знак неравенства не изменится:
$8 - t^2 \ge 2t$
$0 \ge t^2 + 2t - 8$
$t^2 + 2t - 8 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 \le 0$ является отрезок $[-4, 2]$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 2$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$0 < 2^{2x} \le 2$
Неравенство $2^{2x} > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^{2x} \le 2$.
$2^{2x} \le 2^1$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2x \le 1$
$x \le \frac{1}{2}$
Таким образом, множество решений неравенства - это луч $(-\infty, \frac{1}{2}]$.
Ответ: $(-\infty, \frac{1}{2}]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.19 расположенного на странице 25 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.19 (с. 25), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.