Номер 3.19, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.19, страница 25.

Учебник.

3.19. Найдите множество решений неравенства:

1) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} > 7$;

2) $4^{1-x} - 0,5^{1-2x} \ge 1$.

Решение.

Решение 2.

1) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} > 7$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} > 7$

$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} > 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем неравенство относительно $t$:

$3t - \frac{6}{t} > 7$

Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, знак неравенства не изменится:

$3t^2 - 6 > 7t$

$3t^2 - 7t - 6 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 7t - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Неравенство $3t^2 - 7t - 6 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t < -\frac{2}{3}$ или $t > 3$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$3^x > 3$

$3^x > 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Таким образом, множество решений неравенства - это интервал $(1, +\infty)$.

Ответ: $(1, +\infty)$.

2) $4^{1-x} - 0.5^{1-2x} \ge 1$

Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $4 = 2^2$ и $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$(2^2)^{1-x} - (2^{-1})^{1-2x} \ge 1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2(1-x)} - 2^{-1(1-2x)} \ge 1$

$2^{2-2x} - 2^{-1+2x} \ge 1$

$2^{2-2x} - 2^{2x-1} \ge 1$

Преобразуем слагаемые: $\frac{2^2}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2^1} \ge 1$

$\frac{4}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2} \ge 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

Получаем неравенство относительно $t$:

$\frac{4}{t} - \frac{t}{2} \ge 1$

Умножим обе части неравенства на $2t$. Так как $t > 0$, то $2t > 0$, и знак неравенства не изменится:

$8 - t^2 \ge 2t$

$0 \ge t^2 + 2t - 8$

$t^2 + 2t - 8 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 \le 0$ является отрезок $[-4, 2]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^{2x} \le 2$

Неравенство $2^{2x} > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^{2x} \le 2$.

$2^{2x} \le 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \le 1$

$x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, множество решений неравенства - это луч $(-\infty, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $(-\infty, \frac{1}{2}]$.