Номер 3.5, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.5, страница 24.

3:5. Найдите сумму целых решений неравенства:

1) $\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9;$

2) $\frac{1}{8} < 2^{2-x} \leq 16.$

1)

Рассмотрим двойное показательное неравенство $\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9$.

Для решения приведем все части неравенства к одному основанию, в данном случае к 3.

Представим $\frac{1}{3}$ и 9 в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$9 = 3^2$

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$3^{-1} < 3^{x+3} < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знаки неравенства сохраняются:

$-1 < x+3 < 2$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Вычтем 3 из всех его частей:

$-1 - 3 < x + 3 - 3 < 2 - 3$

$-4 < x < -1$

Нам нужно найти сумму целых решений. Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, находящиеся в интервале $(-4, -1)$.

Целые решения: -3, -2.

Найдем их сумму:

$-3 + (-2) = -5$

Ответ: -5

2)

Рассмотрим двойное показательное неравенство $\frac{1}{8} < 2^{2-x} \le 16$.

Приведем все части неравенства к основанию 2.

Представим $\frac{1}{8}$ и 16 в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$16 = 2^4$

Перепишем исходное неравенство:

$2^{-3} < 2^{2-x} \le 2^4$

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки неравенства:

$-3 < 2-x \le 4$

Решим это двойное линейное неравенство. Сначала вычтем 2 из всех частей:

$-3 - 2 < 2 - x - 2 \le 4 - 2$

$-5 < -x \le 2$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-5) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$5 > x \ge -2$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего к большему:

$-2 \le x < 5$

Нам нужно найти сумму целых решений. Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, большие или равные -2 и строго меньшие 5.

Целые решения: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Найдем их сумму:

$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7$

Ответ: 7