Номер 2.22, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.22, страница 21.

2.22. Решите неравенство:

1) $2^{2x} > -1$;

2) $3^x < -5$;

3) $5^{\frac{1}{x}} > -3$.

1) Для неравенства $2^{9x} > -1$ рассмотрим его левую часть. Выражение $2^{9x}$ является показательной функцией с основанием $a=2$. Поскольку основание показательной функции больше нуля ($a > 0$), ее значения всегда положительны для любого действительного показателя степени. Таким образом, $2^{9x} > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$. Неравенство $2^{9x} > -1$ утверждает, что положительное число больше отрицательного, что является верным утверждением для любого значения $x$. Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Для неравенства $3^x < -5$ рассмотрим его левую часть. Выражение $3^x$ — это показательная функция, область значений которой — все положительные числа, то есть $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Неравенство требует, чтобы положительное число ($3^x$) было меньше отрицательного числа ($-5$), что невозможно. Таким образом, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Для неравенства $5^{\frac{1}{x}} > -3$ левая часть, $5^{\frac{1}{x}}$, является показательной функцией с положительным основанием $a=5$. Следовательно, ее значение всегда положительно, $5^{\frac{1}{x}} > 0$, для всех $x$ из области определения. Неравенство $5^{\frac{1}{x}} > -3$ верно всегда, когда его левая часть определена, так как любое положительное число больше любого отрицательного. Область определения выражения $5^{\frac{1}{x}}$ находится из условия, что показатель степени $\frac{1}{x}$ должен существовать. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, решением неравенства является область определения функции в левой части.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.